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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Une façon simple de vérifier d'un seul coup ces trois conditions est de calculer le
produit vectoriel de ces deux vecteurs et de vérifier que ce produit est non nul.
On introduit les notations suivantes :
âx
N=8M/\8M=
(~)
âu
ây
âu
âv
âu
âz
âu
de sorte que
A - ây âz âz ây
- âuâv - âuâv
B- âzâx âxâz
- âuâv - âuâv
/\
âx
âv
ây
âv
âz
âv
C- âxây âyâx
- âuâv - âuâv·
On pose H 2 = A 2 + B 2 + C 2 et donc H = ..J A 2 + B 2 + C 2 = llNll.
On a donc le résultat suivant : M est un point régulier de la nappe :E si et
seulement si Hf= O.
N ormaie à la nappe
Si M est un point régulier de la nappe :E (on garde toutes les notations introduites
aux paragraphes précédents), Je vecteur"'&~ 8E /\ 81!, ~ ( ~ ) est (c'est un
, 1
1 ·
1
d'
·1)
h
1'8M
,&Md
resu tat c ass1que sur es pro mts vectone s ort ogona a âu et a âv , one
c'est un vecteur orthogonal au plan tangent à la nappe en M. Il est pratique de
normer ce vecteur N, c'est-à-dire de le diviser par sa norme : on pose
1f ( « nu ») est le vecteur normal réduit à la nappe :E.
Il est important de se rendre compte que 1f est en fait fonction de ( u, v) ; même
si depuis un certain temps nous n'écrivons plus ces variables, elles sont toujours
sous-jacentes. 1f est même une fonction continue de (u,v), car les différentes
étapes de la fabrication de ce vecteur n'utilisent que des fonctions continues et
des opérations usuelles {les fonctions x, y, z composantes de g sont supposées
de classe C 1 ). On comprend donc que ce vecteur 1f qui est toujours de norme 1,
est toujours du même côté de :E, lorsque (u,v) décrit 'D. Nous allons en tirer une
conséquence importante.