5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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Plan tangent à une nappe
Soit M = g(u,v) = M(u,v) un point d'une nappe paramétrée E paramétrée
par ('D, g). On suppose que M est un point ordinaire pour les deux lignes de
coordonnées qui passent par M (c'est-à-dire un point qui n'est pas un point
stationnaire pour ces deux courbes paramétrées). Ces lignes de coordonnées
admettent donc des tangentes qui sont dirigées respectivement par 1i ( u) et
g~(v). En se rappelant que les dérivées des fonctions partielles sont des dérivées
partielles (même si nous n'avons utilisé ce vocabulaire, jusqu'à présent que pour
des fonctions scalaires, il n'est pas difficile de comprendre que ça s'étend sans
problème pour les fonctions vectorielles en utilisant les fonctions composantes),
âg
âg
âg
âg
.
on notera âu = âu ( u, v) etJv ;..Jv ( u, v) ces vecteurs directeurs. En fait
on utilise plutôt la notation ~u et 8 8 v . Il faut bien comprendre qu'on a
aM - âg - âg ( ) -
ÔU -
au - au u, V -
ax
âx
au (u, v)
au
ay
ay
au(u,v)
au
az
·
âz
âu (u,v)
au
ax
ax
av (u,v)
av
ay
ay
a)u,v)
âv
aM - âg - ag ( ) -
ÔV -
av - av u, V -
az
az
av(u,v)
av
L
aM aM
l" , .
·1 d,
.
1
orsque au et av ne sont pas CO meaires, 1 S etermment un p an passant par
M, qui est par définition le plan tangent à la nappe E en son point M
Nous admettrons le résultat fondamental suivant :
Proposition 5.17 La notion de plan tangent à une nappe ne dépend pas du
choix de la paramétrisation qu'on a choisie.
Régularité d'un point d'une nappe
Un point M d'une nappe paramétrée E est régulier lorsque la définition précédente
du plan tangent a un sens (d'après la proposition précédente, il suffit que ça marche
pour une paramétrisation, et ça marchera pour toutes les autres).
Cette régularité signifie donc que ~~ et ~~ sont tous deux non nuls et qu'en
plus ils sont non colinéaires.