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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Un cas particulier important : les nappes de fonctions
Soit f une fonction continue de deux variables (x, y) et V un domaine inclus
dans V(f). On sait que l'ensemble des points (x, y, z) tels que z = f(x, y) est la
nappe représentative de f. Elle peut être considérée comme nappe paramétrée en
considérant la paramétrisation
{
X=U
y=v
z=f(u,v)
(u, v) EV.
En fait, en pratique, on ne prend pas la peine de changer le nom des variables, et
on utilise simplement x et y comme paramètres, avec (x, y) EV.
Bord d'une nappe
Définition 5.15 Soit E une nappe paramétrée par (V, 1). On suppose que cette
paramétrisation réalise une bijection entre V et (le support de) E.
On suppose que le bord (la frontière) de V est av.
Alors le bord (ou la frontière) de E est l'ensemble aE des points de E dont
l'antécédent est dans a D.
La frontière aE de E peut être considérée comme un arc paramétré fermé, puisque
c'est le cas pour av : si ([a, b], cp) est une paramétrisation de l'arc fermé dont le
support est av, alors ([a, b], 10 cp) est une paramétrisation de l'arc fermé (de JR 3 )
dont le support est le bord aE de E.
Lignes de coordonnées sur une nappe paramétrée
Définition 5.16 Soit Mo= M(uo, vo) = 1(uo, vo) un point d'une nappe paramétrée E paramétrée par (V, 1). Alors les deux fonctions partielles de la fonction
1:
11: uf---t1(u,vo)
12: vf---t1(uo,v)
sont des fonctions vectorielles d'une variable (elles vont de lR vers JR 3 . à ce titre,
elles définissent des courbes paramétrées, qui passent par Mo, et qui sont incluses
dans E : ce sont les lignes de coordonnées de la nappe E qui passent par Mo pour
la paramétrisation (V, 1).
Remarquons que cette notion de lignes de coordonnées est étroitement liée au
choix de la paramétrisation; c'est un handicap certain, et c'est la raison pour
laquelle on n'utilise pas beaucoup cette notion. En revanche, les notions qu'on va
maintenant introduire sont indépendantes de la paramétrisation, et sont attachées
à la nappe.