5.4 INTÉGRALES DE SURFACE
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Remarque : Pour être précis, une nappe paramétrée est en fait une classe
d'équivalence de paramétrisations de nappes équivalentes en un certains sens :
une paramétrisation de nappe étant un couple formé d'un domaine V et d'une
application g de ~ 2 vers ~ 3 , l'équivalence de deux paramétrisations de nappes
(V 1 , g 1) et (V2, g 2) est définie un peu comme l'équivalence des paramétrisations
d'arcs, à l'aide d'une bijection cp entre le domaine V1 et le domaine V2 telle que
g 1 = g 2 o cp; cp doit être dérivable ainsi que cp- 1 .
D'autre part, en pratique, on confond (abusivement) une nappe paramétrée E
et son support. C'est abusif, mais c'est bien utile pour se la représenter, et
c'est indispensable pour alléger les notations : cela permet de parler du point
Mo= M(u,v) de la nappe E comme appartenant à E, et c'est bien pratique.
Enfin, on admettra que les changements de paramétrisations ne changent rien
aux notions que l'on va définir, et on acceptera toujours de privilégier une des
paramétrisations.
Remarque : Nous supposerons que toutes les applications rencontrées sont
régulières, aussi souvent continûment dérivables que nécessaire (même si c'est
éventuellement par morceaux: nous n'entrerons pas dans ces détails). De même, le
domaine V de toute paramétrisation est supposé régulier, au sens que sa frontière
doit toujours pouvoir être considérée comme le support d'un arc paramétré 'Y de
classe C 1 (éventuellement par morceaux).
Exemple de la sphère: La sphère unité (de centre 0 = (0,0,0), de rayon 1)
peut être considérée comme une nappe paramétrée, en utilisant les coordonnées
sphériques, ainsi :
{
x = sinO coscp
y = sin e sin cp
z = cose
(0, cp) E [0, 7r] x [0, 27r].
Avec cette paramétrisation, certains points de la sphère apparaissent plusieurs fois ;
cela peut poser des problèmes, mais pas pour des calculs d'intégrales de surface :
en effet, l'ensemble des points « litigieux » est toujours négligeable, (c'est-à-dire
d'aire nulle).
En diminuant le domaine dans lequel (0, cp) varie, on peut paramétrer de plus
petites zones de la sphère : par exemple, si on restreint 0 E [a, ,B], en laissant
c.p faire un tour complet (varier entre 0 et 27r), les mêmes formules servent à
paramétrer une couronne sphérique, ou une calotte sphérique si a vaut O.
En revanche, si 0 varie de 0 à 7r, mais que cp reste entre deux valeurs 'Y et ô, on
décrira ainsi un « fuseau » de la sphère.
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Remarque : Pour être précis, une nappe paramétrée est en fait une classe
d'équivalence de paramétrisations de nappes équivalentes en un certains sens :
une paramétrisation de nappe étant un couple formé d'un domaine V et d'une
application g de ~ 2 vers ~ 3 , l'équivalence de deux paramétrisations de nappes
(V 1 , g 1) et (V2, g 2) est définie un peu comme l'équivalence des paramétrisations
d'arcs, à l'aide d'une bijection cp entre le domaine V1 et le domaine V2 telle que
g 1 = g 2 o cp; cp doit être dérivable ainsi que cp- 1 .
D'autre part, en pratique, on confond (abusivement) une nappe paramétrée E
et son support. C'est abusif, mais c'est bien utile pour se la représenter, et
c'est indispensable pour alléger les notations : cela permet de parler du point
Mo= M(u,v) de la nappe E comme appartenant à E, et c'est bien pratique.
Enfin, on admettra que les changements de paramétrisations ne changent rien
aux notions que l'on va définir, et on acceptera toujours de privilégier une des
paramétrisations.
Remarque : Nous supposerons que toutes les applications rencontrées sont
régulières, aussi souvent continûment dérivables que nécessaire (même si c'est
éventuellement par morceaux: nous n'entrerons pas dans ces détails). De même, le
domaine V de toute paramétrisation est supposé régulier, au sens que sa frontière
doit toujours pouvoir être considérée comme le support d'un arc paramétré 'Y de
classe C 1 (éventuellement par morceaux).
Exemple de la sphère: La sphère unité (de centre 0 = (0,0,0), de rayon 1)
peut être considérée comme une nappe paramétrée, en utilisant les coordonnées
sphériques, ainsi :
{
x = sinO coscp
y = sin e sin cp
z = cose
(0, cp) E [0, 7r] x [0, 27r].
Avec cette paramétrisation, certains points de la sphère apparaissent plusieurs fois ;
cela peut poser des problèmes, mais pas pour des calculs d'intégrales de surface :
en effet, l'ensemble des points « litigieux » est toujours négligeable, (c'est-à-dire
d'aire nulle).
En diminuant le domaine dans lequel (0, cp) varie, on peut paramétrer de plus
petites zones de la sphère : par exemple, si on restreint 0 E [a, ,B], en laissant
c.p faire un tour complet (varier entre 0 et 27r), les mêmes formules servent à
paramétrer une couronne sphérique, ou une calotte sphérique si a vaut O.
En revanche, si 0 varie de 0 à 7r, mais que cp reste entre deux valeurs 'Y et ô, on
décrira ainsi un « fuseau » de la sphère.