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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
dans l'espace un volume assimilable à un pavé droit, dont les trois dimensions
sont (voir figure) dp, p dO et p sinO dcp. L'élément de volume en coordonnées
sphériques est donc p 2 sin 0 dp dO dcp.
5.4 Intégrales de surface
5.4.1 Introduction
Cette notion est à rapprocher, bien évidemment, de la notion d'intégrale curviligne.
De même qu'une intégrale curviligne se calculait sur un arc paramétré, ce qui
nous a obligé à préciser cette notion, de même une intégrale de surface se calcule
sur une nappe paramétrée, (ou surface paramétrée), et nous commencerons par
définir (sommairement) cette notion.
Les intégrales de surface sont des intégrales doubles dans l'espace, comme les
intégrales curvilignes sont des intégrales simples dans le plan (ou dans l'espace).
Elles sont de trois natures: les calculs d'aire (correspondant aux calculs de longueur
d'une courbe), les intégrales de fonctions scalaires sur une surface (correspondant
aux intégrales curvilignes d'une fonction scalaire) et la notion de flux d'un champ
vectoriel à travers une surface (correspondant à la circulation d'un champ de
vecteurs sur un arc).
Nous terminerons par les deux théorèmes faisant le lien entre ces intégrales de
surface (ou plutôt le flux) et d'une part les intégrales curvilignes (Formule de
Stokes-Ampère) et d'autre part les intégrales triples (Formule d'Ostrogradski). Ce
sont les deux versions tridimensionnelles du théorème de Green-Riemann; il existe
une généralisation de ces théorèmes en dimension quelconque appelée formule de
Green.
5.4.2 Nappes paramétrées
Définition 5.14 Soient x,y,z trois fonctions des deux variables (u,v), définies
et au moins de classe C 1 sur un domaine V de ~ 2 (supposé régulier). Alors la
donnée du domaine V et de l'application
V --+ ~3
(
x(u,v))
y(u,v) = M(u,v) = if°(u,v)
z(u,v)
1: (u,v)
est une paramétrisation d'une nappe paramétrée (ou surface paramétrée) l:; le
support del: est l'ensemble des points M(u,v) lorsque (u,v) décrit V.
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
dans l'espace un volume assimilable à un pavé droit, dont les trois dimensions
sont (voir figure) dp, p dO et p sinO dcp. L'élément de volume en coordonnées
sphériques est donc p 2 sin 0 dp dO dcp.
5.4 Intégrales de surface
5.4.1 Introduction
Cette notion est à rapprocher, bien évidemment, de la notion d'intégrale curviligne.
De même qu'une intégrale curviligne se calculait sur un arc paramétré, ce qui
nous a obligé à préciser cette notion, de même une intégrale de surface se calcule
sur une nappe paramétrée, (ou surface paramétrée), et nous commencerons par
définir (sommairement) cette notion.
Les intégrales de surface sont des intégrales doubles dans l'espace, comme les
intégrales curvilignes sont des intégrales simples dans le plan (ou dans l'espace).
Elles sont de trois natures: les calculs d'aire (correspondant aux calculs de longueur
d'une courbe), les intégrales de fonctions scalaires sur une surface (correspondant
aux intégrales curvilignes d'une fonction scalaire) et la notion de flux d'un champ
vectoriel à travers une surface (correspondant à la circulation d'un champ de
vecteurs sur un arc).
Nous terminerons par les deux théorèmes faisant le lien entre ces intégrales de
surface (ou plutôt le flux) et d'une part les intégrales curvilignes (Formule de
Stokes-Ampère) et d'autre part les intégrales triples (Formule d'Ostrogradski). Ce
sont les deux versions tridimensionnelles du théorème de Green-Riemann; il existe
une généralisation de ces théorèmes en dimension quelconque appelée formule de
Green.
5.4.2 Nappes paramétrées
Définition 5.14 Soient x,y,z trois fonctions des deux variables (u,v), définies
et au moins de classe C 1 sur un domaine V de ~ 2 (supposé régulier). Alors la
donnée du domaine V et de l'application
V --+ ~3
(
x(u,v))
y(u,v) = M(u,v) = if°(u,v)
z(u,v)
1: (u,v)
est une paramétrisation d'une nappe paramétrée (ou surface paramétrée) l:; le
support del: est l'ensemble des points M(u,v) lorsque (u,v) décrit V.