5.3 INTÉGRALES TRIPLES
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par le domaine 'D1 en coordonnées cylindriques (Li= 'l/J('D1)) et par le domaine
V 2 en coordonnées sphériques (Li= ('D2)), on peut écrire
volume( Li) = ffl dx dy dz = //fv
1
r dr dO dz = Jffv
2
p 2 sin 0 dp dO d Un élément de volume doit se comprendre comme étant le volume obtenu en
partant d'un point et en augmentant chacune des coordonnées d'une toute petite
quantité destinée à tendre vers 0 (voir p. 227).
(5.12)
z
'
'
/
' ,
- - J,
coordonnées rectangulaires
z
'
coordonnées cylindriques
coordonnées sphériques
En coordonnées rectangulaires, il est clair que l'élément de volume est un
pavé droit (parallélépipède rectangle) de côtés dx, dy et dz : il n'y a pas de
problème.
En coordonnées cylindriques, à partir d'un point M = (x, y, z) = 'lf;(r, 0, z),
si on augmente très légèrement les trois coordonnées cylindriques de ce point,
respectivement de dr, de dO et de dz, la partie de l'espace décrite par cette augmentation est représentée sur la figure; on peut pour de très petites augmentations,
l'assimiler à un pavé droit pour calculer son volume et on s'aperçoit facilement
que ce volume vaut dr (r dO) dz. L'élément de volume en coordonnées cylindriques
est donc r dr dO dz.
En coordonnées sphériques, de la même façon, à partir d'un point M =
(x, y, z) = (p, 0, de ce point, respectivement de dp, de dO et de