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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Le Jacobien de 1 _ {{{
dx dy dz
_ {{{
dx dy dz
- 1111::. Jx2 + y2 + z2 - 111(V) Jx2 + y2 + z2
= jjfv ~ IP 2 sin OI dp d(} dcp = Jffv p sin(} dp d(} dcp
= (fi
2 p dp) (ion sin (} d(}) (fo
2
n (variables séparables)
3
= - . 2 . 271" = 611".
2
Exemple 2 : Calculer J = JK (x 2 + y 2 + z 2 ) dx dy dz lorsque ~ est le domaine
t , • ,
{ X
2
+ Y
2
~ z (A t
b 1 "d d , 1 t'
' d
carac ense par
0
~ z ~ 1
u es un para o 01 e e revo u 10n, une espece e
bol engendré par la révolution autour de l'axe des z d'un morceau de la parabole
z = y 2 pour 0 ~ y ~ 1).
{
O On caractérise~ en coordonnées cylindriques par~= 'l/J(V) avec V:
0 ~ z ~ 1
0 ~ (} < 21!"
(encore une fois, inutile de s'inquiéter pour des points oubliés ou comptés deux
fois : dans les calculs d'intégration, les domaines négligeables sont faits pour être
négligés).
Appliquant la formule de changement de variable, puisque le jacobien de 'ljJ est ici
J('lj;) = r, on obtient
J = Jffv (r 2 + z 2 ) r dr d(} dz = (fo
1 dz fo..;z (r 3 + rz 2 ) dr) (fo
2
n d(})
On remarque que la variable (} est séparable des autres, on a donc :
271" (2 + 3) 571"
= - ·
24
12
Remarque : Comme pour les coordonnées polaires dans le plan, il est intéressant d'interpréter géométriquement l'élément de volume lors de l'utilisation des
coordonnées sphériques et cylindriques. Rappelons tout d'abord que l'élément de
volume, en coordonnées rectangulaires est dx dy dz. De plus, si ~ est caractérisé