5.3 INTÉGRALES TRIPLES
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des variables par une fonction des deux autres et que  est un cylindre (au sens
mathématique). Par exemple, si on a f(x, y, z) = g(x, y) h(z) et  =V x [c, d],
V étant un domaine de ~ 2 que décrivent les variables (x, y), alors on a
Jfl f(x, y, z) dx dy dz = (jfv g(x, y) dx dy) (1d h(z) dz) .
Les calculs d'aires avec les intégrales doubles (proposition 5.9) se transforment en
calculs de volumes avec les intégrales triples: le volume de  vaut JK 1 dx dy dz.
Le théorème de changement de variable s'étend pratiquement sans changement
aux intégrales triples, même s'il est ici beaucoup plus délicat d'essayer d'expliquer
l'intervention du Jacobien (écrire dx dy dz = lldx /\ dy /\ dzll est plus difficile
à interpréter). Nous allons simplement montrer deux exemples de calculs qui
se simplifient beaucoup si on utilise les changements de variables classiques du
passage en coordonnées cylindriques ou en coordonnées sphériques.
Exemple 1 : Calculer I = {{{
~x dy 2 dz 2 pour  caractérisé par
Jjjb. Jx +y +z
1 :::;; x 2 + y 2 + z 2 :::;; 4. (.D. est le domaine compris entre les sphères centrées à
l'origine de rayons respectifs 1 et 2).
Essayer d'appliquer la définition ou la propriété de Fubini pour les intégrales
triples relèverait de la mission impossible : il faudrait déjà couper  en plusieurs
morceaux, et ça resterait très difficile. Il y a d'ailleurs peu de chances pour que
les calculs d'intégrales simples auxquels on se ramènerait soient faciles.
En revanche, le passage en coordonnées sphériques est très simple à effectuer.
On commence par retirer quelques morceaux négligeables de  pour que l'application  à quelques détails de volume nul près. Il suffit de retirer à  les points de
l'axe Oz. Il est alors clair que .D.' = {
1:::;; p:::;; 2
0<0<7r
0:::;; On a déjà vu que le fait qu'il y ait quelques inégalités strictes dans la caractérisation
de V n'a absolument aucune importance : on fera les calculs comme si les inégalités
étaient larges.
On a ici V= [1,2]x]0,7r[x[0,27r[ et on fera tous les calculs comme si on avait
D = [1, 2] x [0, 7r] x [0, 27r].
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des variables par une fonction des deux autres et que  est un cylindre (au sens
mathématique). Par exemple, si on a f(x, y, z) = g(x, y) h(z) et  =V x [c, d],
V étant un domaine de ~ 2 que décrivent les variables (x, y), alors on a
Jfl f(x, y, z) dx dy dz = (jfv g(x, y) dx dy) (1d h(z) dz) .
Les calculs d'aires avec les intégrales doubles (proposition 5.9) se transforment en
calculs de volumes avec les intégrales triples: le volume de  vaut JK 1 dx dy dz.
Le théorème de changement de variable s'étend pratiquement sans changement
aux intégrales triples, même s'il est ici beaucoup plus délicat d'essayer d'expliquer
l'intervention du Jacobien (écrire dx dy dz = lldx /\ dy /\ dzll est plus difficile
à interpréter). Nous allons simplement montrer deux exemples de calculs qui
se simplifient beaucoup si on utilise les changements de variables classiques du
passage en coordonnées cylindriques ou en coordonnées sphériques.
Exemple 1 : Calculer I = {{{
~x dy 2 dz 2 pour  caractérisé par
Jjjb. Jx +y +z
1 :::;; x 2 + y 2 + z 2 :::;; 4. (.D. est le domaine compris entre les sphères centrées à
l'origine de rayons respectifs 1 et 2).
Essayer d'appliquer la définition ou la propriété de Fubini pour les intégrales
triples relèverait de la mission impossible : il faudrait déjà couper  en plusieurs
morceaux, et ça resterait très difficile. Il y a d'ailleurs peu de chances pour que
les calculs d'intégrales simples auxquels on se ramènerait soient faciles.
En revanche, le passage en coordonnées sphériques est très simple à effectuer.
On commence par retirer quelques morceaux négligeables de  pour que l'application  à quelques détails de volume nul près. Il suffit de retirer à  les points de
l'axe Oz. Il est alors clair que .D.' = {
1:::;; p:::;; 2
0<0<7r
0:::;; On a déjà vu que le fait qu'il y ait quelques inégalités strictes dans la caractérisation
de V n'a absolument aucune importance : on fera les calculs comme si les inégalités
étaient larges.
On a ici V= [1,2]x]0,7r[x[0,27r[ et on fera tous les calculs comme si on avait
D = [1, 2] x [0, 7r] x [0, 27r].