232
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
utile de déterminer une équation cartésienne du plan (ABC) : 2x + 2y + z = 2) On
{
0:::;; X:::;; 1
peut donc affirmer que le domaine b.. est caractérisé par
0 :::;; y :::;; 1 - x
0 :::;; z :::;; 2 - 2x - 2y
et par conséquent, on a :
{{{
rl
rl-x
r2-2x-2y
I = lll t:. xyz dx dy dz = lo dx lo dy lo xyz dz
~ J.' x dx t" y dy [ ;i::-,x-2y ~ J.' x dx t" 2y(l - x -y) 2 dy
-il
([y(l-x-y)3ly=l~x1l-x (1-x-y)3 )
- 2x dx
3
3
dy
0
-
y=O
0
-
= {1 2x (1 - X - y)4 - d~ = {1 x(l - x)4 dx
[ l
y-1 X
lo 3
-4
y=O
lo
6
(l'intégration par parties
simplifie beaucoup les
calculs)
= [x(l - x)5] x=l + rl (1 - x)5 dx = [(1 - x)6] x=l = _1 .
30
x=O
lo 30
-180 x=O
180
5.3.2 Propriétés des intégrales triples
Le principe est que toutes les propriétés des intégrales doubles s'étendent aux
intégrales triples. Il y a bien sûr quelques précisions à apporter dans certains cas.
Les propriétés de positivité et de linéarité (5.2 à 5.4) s'étendent sans aucun
changement.
Pour la propriété 5.5 concernant les domaines négligeables, il faut remplacer la
notion d'aire nulle par la notion de volume nul : par exemple, l'intégrale triple
d'une fonction sur une surface (sans épaisseur) est nulle.
La propriété 5.6 d'additivité s'étend sans changement.
On a déjà vu la version « intégrales triples» du théorème 5.7 de Fubini.
La proposition 5.8 concernant les variables séparables s'étend, mais elle existe en
plusieurs versions :
• D'abord on peut tout séparer (en un produit de trois intégrales simples) lorsque
la fonction f peut s'écrire f(x, y, z) = g(x) h(y) i(z) et quand le domaine est
un pavé b.. = [a, b] x [c, d] x [a, ,B] : on a alors
/Ji f(x, y, z) dx dy dz = (lb g(x) dx) (1d h(y) dy) (J: i(z) dz) .
• Ensuite, on peut séparer en deux morceaux, en un produit d'une intégrale
simple par une intégrale double lorsque f est le produit d'une fonction d'une