5.3 INTÉGRALES TRIPLES
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Théorème 5.13 (Fubini pour les intégrales triples)
Dans un calcul d'intégrale triple, on peut changer l'ordre des variables.
l
·A
t
.
t'"'
{ a~y~/3 (.A 't tl t
I
Par exemp e, si u es aussi carac erise par
(
) Â
uy e an a race l ou
.
x,z E Uy
la coupe) du domaine~ dans le plan des points d'ordonnée y), alors on a
JJl f(x, y, z) dx dy dz = 1: dy Jk.Y f(x, y, z) dx dz.
De même, si~ peut être caractérisé par { ( ()x:,_y) : V ( ) alors on a
U1 X, y "' :::: Z "' :::: U2 X, y ,
JfJ
g 1
u2(x,y)
f(x, y, z) dx dy dz =
dx dy
f(x, y, z) dz.
b;.
V
u1 (x,y)
{
a~x~b
Si on peut caractériser ~ par
v1 ( x) ~ y ~ v2 ( x)
u1(x, y) ~ z ~ u2(x, y),
alors on a
/J~
l
b
1v2(x)
1u2(x,y)
f(x, y, z) dx dy dz =
dx
dy
f(x, y, z) dz.
b..
a
v1(x)
u1(x,y)
Il y a bien sûr beaucoup d'autres énoncés analogues.
Un exemple de calcul
On demande de calculer I = JJL xyz dx dy dz pour ~ qui est le tétraèdre dont
les sommets sont 0 = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) et C = (0, 0, 2).
2
y
z=2-2x
(5.11)
o=· ......... y=-1--x---- y
Ici aussi, tout le problème consiste à caractériser correctement le domaine ~. Pour
chaque x fixé (entre 0 et 1), le plan des points d'abscisse x coupe le domaine~
selon un triangle, et un calcul élémentaire montre que y peut varier entre 0 et 1- x,
et pour chaque y entre ces valeurs, z peut varier entre 0 et 2-2x-2y. (Il peut être