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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
décrivant [a, {3], la courbe de w2 est décrite dans le même sens que'"'(, alors que
celle de w1 est décrite dans le mauvais sens. En écrivant'"'(= 'YI V ' "' (2, on prendra
,
,
{ X = W2(t)
[ R) 1
l'
0
d l'
' Y2 parametre par
y= t
t E a,,_, , a ors que 'YI est arc mverse e arc
-
.
1 .
't ,
{ X = WI (t) t [ R)
'YI qm est m parame re par
y = t
E a,,_, .
On a donc dans les deux cas dy = dt et
Jz=1Qdy=1 Qdy+1 Qdy=- ~Q(x,y)dy+1 Q(x,y)dy
'Y
'Yl
'Y2
A1
'Y2
= -1: Q(w1(t), t) dt+ 1: Q(w2(t), t) dt= li
La même démarche permet sans difficulté de montrer que Ji = -!2, ce qui permet
d'achever la démonstration.
O
5.3 Intégrales triples
5.3.1 Présentation
Cette notion sera traitée à l'imitation de ce qu'on a fait pour les intégrales doubles,
et le lecteur est invité à deviner comment on pourrait traiter des intégrales
multiples d'ordre supérieur.
Évidemment, pour cette notion, on se place dans ~ 3 et les fonctions considérées
sont des fonctions des trois variables (x, y, z).
Définition 5.12 Si Li est un domaine de l'espace à trois dimensions caractérisé
par
(
)
A
{
a~x~b
x,y,z Eu {::::::::}
(
)
A
y,z Eux,
(Lix est la trace (ou la coupe) du domaine Li dans le plan des points d'abscisse x)
alors pour toute fonction f continue sur Li, l'intégrale triple de f sur Li est le
nombre réel
JfL f(x, y, z) dx dy dz = 1b (/Lx f(x, y, z) dy dz) dx
= 1b dx /Lx f(x, y, z) dy dz.
Dans cette définition l'intégrale double utilisée peut se calculer en privilégiant
y ou en privilégiant z. D'une façon générale, on peut, pourvu que la forme du
domaine s'y prête, commencer par n'importe quelle variable, et on a le théorème
suivant.