5.2 INTÉGRALE DOUBLE
229
)'
(5.10)
On cherche donc à comparer l'intégrale double
I = Jl (~~ -~:) dx dy = JL ~~ (x,y) dx dy-JL ~: (x,y) dx dy = Ii-12
et l'intégrale curviligne
J = !, P dx + Q dy = !, P dx + !, Q dy = J1 + h.
On a coupé en deux ces deux intégrales par linéarité.
En utilisant le théorème de Fubini (5.7 p. 220), on obtient pour fi.
1
(3
1w2(y) âQ
li=
dy
- 8 (x,y) dx
a
w 1 (y)
X
1
(3 [
J x=w2(y)
=
Q(x,y)
dy
a
x=w1(y)
= 1: (Q(w2(y), y) - Q(w1(y), y)) dy
= J: Q(w2(t), t) dt - 1: Q(w1(t), t) dt.
C'est bien sûr à h que ce résultat ressemble. Calculons cette intégrale curviligne.
Pour cela, on va paramétrer 'Y en le coupant en deux grâce aux fonctions w1 et w2.
Le support de 'Y est la réunion des deux courbes x = w1 (y) et x = w2 (y) ; pour y