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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
d'une intégrale simple à l'aide d'une primitive, et affirme que l'intégrale d'une
fonction sur un domaine est égale à l'intégrale d'une primitive de cette fonction
sur la frontière de ce domaine. évidemment, tout le problème est de donner un
sens à cette notion de primitive et à celles d'intégrales sur le domaine et sur la
frontière. En dimension 2, l'intégrale sur le domaine, c'est l'intégrale double, et
l'intégrale sur le bord, c'est l'intégrale curviligne.
Théorème 5.11 (Green-Riemann)
Soit ~ un domaine régulier dont la frontière, décrite dans le sens trigonométrique
est un arc fermé simple 'Y.
Alors, pour toute forme différentielle w = P dx + Q dy de classe C 1 , on a
i P dx + Q dy = Jl ( ~~ -~:) dx dy.
Remarquons tout d'abord que ce théorème permet de faire la liaison entre nos deux
énoncés permettant de calculer l'aire d'un domaine plan: la proposition 5.9 (p. 221)
et le théorème 4.36 (p. 190). En effet, Il suffit de trouver une forme différentielle
w = P dx + Q dy telle que ~~ - : = 1 pour faire ce lien. Cette équation aux
dérivées partielles admet beaucoup de solutions, mais il est clair que les trois
formes différentielles w1 = x dy, w2 = -y dx et W3 = ! ( w1 + w2) = ! ( x dy - y dx)
en sont des solutions.
Preuve Nous ne ferons une démonstration que dans un cas bien particulier:
lorsque ~ est suffisamment régulier pour pouvoir être caractérisé à la fois en
privilégiant x et en privilégiant y : on suppose qu'on a
(
) ~
{
a~x~b
x, y E
<====>
u(x) ~y~ v(x) <====> {
Dans un cas plus général, il sufflt de découper
le domaine ~ en morceaux ayant cette propriété et d'appliquer l'additivité pour l'intégrale double (proposition 5.6 p. 219); pour les
intégrales curvilignes, il faut se rendre compte
que les trajets rajoutés sur les contours par
ce découpage sont parcourus une fois dans
chaque sens, ce qui fait qu'ils ne comptent
pas en vertu de la proposition 4.29 (p.· 182).
a~y~/3
w1(Y) ~ x ~ w2(y)