5.2 INTÉGRALE DOUBLE
227
Le calcul a été bien plus simple en utilisant cette formule de changement de
variables. Il est important de savoir utiliser cette technique chaque fois que l'on
sent que ça peut simplifier les calculs. Comment peut-on prévoir que les calculs
seront plus simples? C'est la forme du domaine qui donne en général l'indice :
lorsque ~ est facile à caractériser en utilisant les coordonnées polaires, il sera
probablement intéressant de faire ce changement de variables.
Calculs d'aire en polaires
Lorsqu'un domaine peut facilement être caractérisé à l'aide des coordonnées
polaires (comme dans l'exemple précédent, ~ = 'lf;('D)), pour calculer son aire,
il est possible de procéder au changement de variable passage en polaires. On
obtient
aire(~) = Jl 1 dx dy = jfv r dr dB.
Il est intéressant de comprendre que r dr dB est en fait un élément de surface
au sens suivant. Soit M = (x,y) = 'lf;(r,B) = (rcosB,rsinB) un point intérieur à
/J,,. (ce qui suppose que (r, B) est intérieur au domaine V). Si on augmente très
légèrement les deux coordonnées polaires de ce point, respectivement de dr et
de dB, alors la partie du plan décrite par cette augmentation (pour être précis,
l'ensemble des points du plan dont les coordonnées polaires sont comprises entre
r et r + dr d'une part et entre B et B +dB d'autre part) est l'intersection d'une
couronne et d'un secteur angulaire.
rd0
(5.9)
Supposons dr et dB très petits, nous assimilerons cet élément de surface à un
rectangle MM" M"' M' dont les côtés ont respectivement comme longueur MM' =
dr et MM" = r dB comme vous le montrera un raisonnement de géométrie
élémentaire. Il est donc logique qu'à l'élément de surface dx dy en coordonnées
rectangulaires corresponde l'élément de surfacer dr dB en coordonnées polaires.
5.2.4 Le théorème de Green-Riemann
Ce théorème très important permet de lier les intégrales doubles et les intégrales
curvilignes. C'est la version plane d'un théorème plus général valable dans un
espace de dimension quelconque, la formule de Green, qui généralise le calcul
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Le calcul a été bien plus simple en utilisant cette formule de changement de
variables. Il est important de savoir utiliser cette technique chaque fois que l'on
sent que ça peut simplifier les calculs. Comment peut-on prévoir que les calculs
seront plus simples? C'est la forme du domaine qui donne en général l'indice :
lorsque ~ est facile à caractériser en utilisant les coordonnées polaires, il sera
probablement intéressant de faire ce changement de variables.
Calculs d'aire en polaires
Lorsqu'un domaine peut facilement être caractérisé à l'aide des coordonnées
polaires (comme dans l'exemple précédent, ~ = 'lf;('D)), pour calculer son aire,
il est possible de procéder au changement de variable passage en polaires. On
obtient
aire(~) = Jl 1 dx dy = jfv r dr dB.
Il est intéressant de comprendre que r dr dB est en fait un élément de surface
au sens suivant. Soit M = (x,y) = 'lf;(r,B) = (rcosB,rsinB) un point intérieur à
/J,,. (ce qui suppose que (r, B) est intérieur au domaine V). Si on augmente très
légèrement les deux coordonnées polaires de ce point, respectivement de dr et
de dB, alors la partie du plan décrite par cette augmentation (pour être précis,
l'ensemble des points du plan dont les coordonnées polaires sont comprises entre
r et r + dr d'une part et entre B et B +dB d'autre part) est l'intersection d'une
couronne et d'un secteur angulaire.
rd0
(5.9)
Supposons dr et dB très petits, nous assimilerons cet élément de surface à un
rectangle MM" M"' M' dont les côtés ont respectivement comme longueur MM' =
dr et MM" = r dB comme vous le montrera un raisonnement de géométrie
élémentaire. Il est donc logique qu'à l'élément de surface dx dy en coordonnées
rectangulaires corresponde l'élément de surfacer dr dB en coordonnées polaires.
5.2.4 Le théorème de Green-Riemann
Ce théorème très important permet de lier les intégrales doubles et les intégrales
curvilignes. C'est la version plane d'un théorème plus général valable dans un
espace de dimension quelconque, la formule de Green, qui généralise le calcul