226
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
On a donc
1
~
1 [
y2ly=~
I = fo dx fo
(1 + x - y) dy = fo y + xy - 2 y=~x
{l(
1-x2)
= Jo \h- x 2 +xJI -x 2 - - 2 -
dx.
La complication de ces calculs d'intégrale ne nous déçoit pas!
[
3
l 1
1
(1 - x 2 ) 2
x
x 3
1
1 1 1
I = f ~ dx +
- - + -
= f JI - x 2 dx - - + - + -
lo
-3
2
6 0 lo
2 6 3
=
Vl-x 2 dx = -
fo
l
1f
0
4
(en effet cette intégrale représente l'aire de ~).
Deuxième calcul (passage en polaires).
Le domaine ~ (ou plutôt ~ \ { (0, 0)}) est l'image par l'application :
7/J: (r, 0) i-------+ (x, y) = (r cos 0, r sin 0) de l'ensemble V des (r, 0) tels que {
et 7/J est bijective entre ces deux domaines.
Le jacobien de 7/J est r > O. On peut donc sans problème appliquer la formule
(5.8).
I = Jl (1 + x -y) dx dy = Jk (1 + rcosO - rsinO) r dr dO
= Jfv r dr dO + Jk r 2 (cos0 - sinO) dr dO.
Remarquons que ces deux intégrales sont à variables séparables, V étant un
rectangle 2 , donc en appliquant la proposition 5.8 (p. 221), on obtient facilement
l'if
1[.
](k~
1f
1
1f
= - - + - sm 0 + cos 0
= - + - (1 + 0 - 0 - 1) = - ·
22 3
8=0
4 3
4
2 En fait, ici V n'est pas comme d'habitude un domaine fermé puisqu'une des inégalités qui le
caractérisent est stricte. ça n'a aucune importance, comme nous l'avons signalé au début, et le
fait que les inégalités soient strictes ou larges ne change jamais rien à la valeur des intégrales
multiples que l'on calcule.