5.2 INTÉGRALE DOUBLE
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Ce qui est important, c'est d'admettre les propriétés d'antisymétrie et de bilinéarité
de ce symbole/\, que ce soit comme produit extérieur ou comme produit vectoriel:
on a toujours a /\ b = -b /\ a et a /\ a = 0, ainsi que (a + b) /\ c = a /\ c + b /\ c et
..X(a /\ b) = (..Xa) /\ b =a/\ (..Xb) (en d'autres termes, /\ est un produit).
Avec cette interprétation, sachant que x = x(u,v) et y= y(u,v) pour (x,y) =
cp(u, v), nous avons
ôx
ax
dx= -du+-dv
ôu
ôv
ôy
ôy
dy =au du+ av dv.
On obtient donc
dx dy = lldx /\ dyll = Il ( ~: du+ ~: dv) /\ ( ~~ du+ ~~ dv) Il
ll
ôxôy
ôxôy
ôxôy
ôxôy
Il
= ôu ôu du /\ du + ôu ôv du /\ dv + ôv ôu dv /\ du + ôv ôv dv /\ dv ;
On vient d'utiliser alors la bilinéarité de/\; on utilise maintenant son antisymétrie :
ôxô
ôxay
-
-
(
ôx ôx)
dx dy = 1au 8 ~ - av aul lldu A dvll = det g~ g~ du dv = 1 detJ(cp)I du dv.
ôu ôv
Bien sûr, ceci n'a absolument rien démontré rigoureusement, mais peut-être
comprenez-vous un peu plus d'où sort ce Jacobien ...
Exemple classique du passage en polaires
On veut calculer l'intégrale double I
Jl f ( x, y) dx dy de la fonction f : ( x, y) f---t 1 + x - y
sur le domaine ~ représenté sur la figure ci-contre :
C'est le premier quart du disque limité par le cercle
trigonométrique.
11 n'est pas très difficile d'écrire un système caractérisant ~ pour pouvoir appliquer la définition de l'intégrale double, mais les calculs qui en résultent sont
franchement compliqués. Aussi utilisera-t-on ensuite le passage en polaires qui
simplifie beaucoup les calculs.
Premier calcul (directement)
A
, • ,
{
Ü ~ X ~ 1
(
œ
1
b
. l' .
, .
1..1 est caractense par 0 ~ y ~ Vl _ x 2 en euet, a cour e qm imite supeneurement  est le cercle trigonométrique d'équation x 2 + y 2 = 1 ~ y = ±Jl - x2).
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Ce qui est important, c'est d'admettre les propriétés d'antisymétrie et de bilinéarité
de ce symbole/\, que ce soit comme produit extérieur ou comme produit vectoriel:
on a toujours a /\ b = -b /\ a et a /\ a = 0, ainsi que (a + b) /\ c = a /\ c + b /\ c et
..X(a /\ b) = (..Xa) /\ b =a/\ (..Xb) (en d'autres termes, /\ est un produit).
Avec cette interprétation, sachant que x = x(u,v) et y= y(u,v) pour (x,y) =
cp(u, v), nous avons
ôx
ax
dx= -du+-dv
ôu
ôv
ôy
ôy
dy =au du+ av dv.
On obtient donc
dx dy = lldx /\ dyll = Il ( ~: du+ ~: dv) /\ ( ~~ du+ ~~ dv) Il
ll
ôxôy
ôxôy
ôxôy
ôxôy
Il
= ôu ôu du /\ du + ôu ôv du /\ dv + ôv ôu dv /\ du + ôv ôv dv /\ dv ;
On vient d'utiliser alors la bilinéarité de/\; on utilise maintenant son antisymétrie :
ôxô
ôxay
-
-
(
ôx ôx)
dx dy = 1au 8 ~ - av aul lldu A dvll = det g~ g~ du dv = 1 detJ(cp)I du dv.
ôu ôv
Bien sûr, ceci n'a absolument rien démontré rigoureusement, mais peut-être
comprenez-vous un peu plus d'où sort ce Jacobien ...
Exemple classique du passage en polaires
On veut calculer l'intégrale double I
Jl f ( x, y) dx dy de la fonction f : ( x, y) f---t 1 + x - y
sur le domaine ~ représenté sur la figure ci-contre :
C'est le premier quart du disque limité par le cercle
trigonométrique.
11 n'est pas très difficile d'écrire un système caractérisant ~ pour pouvoir appliquer la définition de l'intégrale double, mais les calculs qui en résultent sont
franchement compliqués. Aussi utilisera-t-on ensuite le passage en polaires qui
simplifie beaucoup les calculs.
Premier calcul (directement)
A
, • ,
{
Ü ~ X ~ 1
(
œ
1
b
. l' .
, .
1..1 est caractense par 0 ~ y ~ Vl _ x 2 en euet, a cour e qm imite supeneurement  est le cercle trigonométrique d'équation x 2 + y 2 = 1 ~ y = ±Jl - x2).