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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Dans les deux cas on obtient donc
(5.7)
r f(x) dx = 1 f(x) dx = r (! 0 cp)(t) Jcp'(t)J dt.
h
~~
h
C'est cette formule (5.7) qui se généralise bien aux intégrales doubles (ou triples).
Le théorème de changement de variable dans les intégrales doubles
Théorème 5.10 {Changement de variables)
Soit f une fonction continue des deux variables (x, y), définie sur un domaine Â.
On suppose qu'il existe un changement de variable bijectif, de classe C 1
cp: (u,v) i-------+ cp(u,v) = (x,y) = (x(u,v),y(u,v)) entre un domaine D et b... {on
a donc cp(D) = b..).
Alors on a la formule de changement de variable pour les intégrales doubles
(5.8)
{{ f(x,y)dxdy= {{
f(x,y)dxdy= {{ focp(u,~)JdetJ(cp)(uv)Jdudv.
111::.
llip(V)
llv
'
Sans prétendre faire une démonstration, nous donnerons une illustration formelle
de cette propriété. Notons tout d'abord l'analogie avec la formule pour les intégrales
simples, le Jacobien de cp jouant ici le même rôle que la valeur absolue de cp'(t)
pour les intégrales simples.
Rappelons tout d'abord la façon dont on raisonne le plus souvent pour faire un
changement de variable dans une intégrale simple j f ( x) dx :
on écrit qu'on pose x = cp(t), donc dx = cp'(t) dt et en faisant attention aux bornes
on obtient l'intégrale cherchée j f (cp(t)) cp'(t) dt.
Nous allons faire un raisonnement du même type, mais pour cela nous allons
commencer par une convention : nous écrirons
dx dy = JJdx /\ dyJJ.
Vous pouvez vous contenter d'admettre cette notation formellement, sans vous
poser de question. Cependant si vous tenez à savoir de quoi il s'agit, sachez
que le symbole /\ est ici a priori ce qu'on appelle un produit extérieur de deux
formes différentielles dont le résultat est une 2-forme différentielle. Bien sûr, je
pense que ça ne vous renseigne toujours pas beaucoup. Alors pour continuer à
essayer d'illustrer, reprenons l'interprétation « élément de surface» de dx dy; si
on considère que dx et dy sont de petits vecteurs construits à partir du point
(x, y), on sait (si on a un peu de culture mathématique) que la norme (euclidienne)
du vecteur dx /\ dy obtenu comme produit vectoriel de ces deux vecteurs est égale
à l'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs. Ce parallélogramme
est ici le rectangle élément de surface élémentaire.
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Dans les deux cas on obtient donc
(5.7)
r f(x) dx = 1 f(x) dx = r (! 0 cp)(t) Jcp'(t)J dt.
h
~~
h
C'est cette formule (5.7) qui se généralise bien aux intégrales doubles (ou triples).
Le théorème de changement de variable dans les intégrales doubles
Théorème 5.10 {Changement de variables)
Soit f une fonction continue des deux variables (x, y), définie sur un domaine Â.
On suppose qu'il existe un changement de variable bijectif, de classe C 1
cp: (u,v) i-------+ cp(u,v) = (x,y) = (x(u,v),y(u,v)) entre un domaine D et b... {on
a donc cp(D) = b..).
Alors on a la formule de changement de variable pour les intégrales doubles
(5.8)
{{ f(x,y)dxdy= {{
f(x,y)dxdy= {{ focp(u,~)JdetJ(cp)(uv)Jdudv.
111::.
llip(V)
llv
'
Sans prétendre faire une démonstration, nous donnerons une illustration formelle
de cette propriété. Notons tout d'abord l'analogie avec la formule pour les intégrales
simples, le Jacobien de cp jouant ici le même rôle que la valeur absolue de cp'(t)
pour les intégrales simples.
Rappelons tout d'abord la façon dont on raisonne le plus souvent pour faire un
changement de variable dans une intégrale simple j f ( x) dx :
on écrit qu'on pose x = cp(t), donc dx = cp'(t) dt et en faisant attention aux bornes
on obtient l'intégrale cherchée j f (cp(t)) cp'(t) dt.
Nous allons faire un raisonnement du même type, mais pour cela nous allons
commencer par une convention : nous écrirons
dx dy = JJdx /\ dyJJ.
Vous pouvez vous contenter d'admettre cette notation formellement, sans vous
poser de question. Cependant si vous tenez à savoir de quoi il s'agit, sachez
que le symbole /\ est ici a priori ce qu'on appelle un produit extérieur de deux
formes différentielles dont le résultat est une 2-forme différentielle. Bien sûr, je
pense que ça ne vous renseigne toujours pas beaucoup. Alors pour continuer à
essayer d'illustrer, reprenons l'interprétation « élément de surface» de dx dy; si
on considère que dx et dy sont de petits vecteurs construits à partir du point
(x, y), on sait (si on a un peu de culture mathématique) que la norme (euclidienne)
du vecteur dx /\ dy obtenu comme produit vectoriel de ces deux vecteurs est égale
à l'aire du parallélogramme construit sur ces deux vecteurs. Ce parallélogramme
est ici le rectangle élément de surface élémentaire.