5.2 INTÉGRALE DOUBLE
223
Les hypothèses pour pouvoir appliquer cette formule est que f soit régulière
(continue), et que le changement de variable

ci. L'intervalle J est l'intervalle d'extrémités a et (3.
Pourquoi n'écrit-on pas J = [a, /3]? Parce qu'on n'est pas sûr de l'ordre des bornes
de cet intervalle. Nous supposons assez logiquement que I = [a, b] est l'écriture
correcte de l'intervalle sur lequel on calcule l'intégrale de f c'est-à-dire que a < b,
mais on ne sait rien de la variation de En fait, si

sûr que a < (3, et l'écriture de la formule est satisfaisante.
Mais si

f3 et il serait
plus satisfaisant d'intervertir les bornes dans la dernière intégrale de la formule
(5.6)
Et si

signe constant). Ce cas n'est pas très intéressant, car dans ce cas

bijective : ce n'est plus un bon changement de variable, et nous éliminons donc
logiquement cette possibilité.
En procédant comme ce qu'on avait fait lors des explications précédant la proposition sur l'additivité (proposition 5.6 p. 219), on va introduire l'intégrale (simple)
d'une fonction sur un intervalle : on pose, si I = [a, b],
r J(x) dx = r f(x) dx = rb J(x) dx
h
}~~
~
Voyons ce que devient la formule de changement de variable (5.6) en utilisant ce
formalisme selon la variation de Tout d'abord, si cp est croissante, aucun problème, on écrira tout simplement
r f(x) dx = r J(x) dx = r (J 0 cp)(t) cp'(t) dt
h
4(~
h
Maintenant, si cp est décroissante, on écrira donc
r J(x) dx = r f(x) dx = - t" (J 0 cp)(t) cp'(t) dt
h
4(~
h
= l(Jocp)(t)(-cp'(t))dt
ici J=[/3,a]
= [u o cp)(t) lcp'(t)I dt
car cp'(t) ~o.
Mais dans le premier cas, on aurait pu aussi introduire des valeurs absolues autour
de cp'(t), car on avait cp'(t) ~ 0 donc cp'(t) = lcp'(t)I.