222
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Une façon simple de comprendre cet énoncé est de considérer dx dy comme
l'aire d'un rectangle élémentaire, et la somme de l'aire de tous les rectangles
élémentaires, pour (x, y) qui décrit Ll, donne logiquement l'aire totale de Ll et se
calcule par double intégration.
Une autre interprétation consiste à reprendre ce qu'on a vu dans l'introduction
avec cette fois la fonction f qui vaut constamment 1. La nappe représentative
de f est alors le plan horizontal d'équation z = 1, et le volume V représentant
l'intégrale double est le volume d'un cylindre de base Ll; il est égal à l'aire de la
base (qui est l'aire de Ll) multipliée par la hauteur qui vaut 1. On obtient donc
bien
A(Ll) = V = Il 1 dx dy.
Il est intéressant et important de vérifier que pour une surface dont on sait déjà
calculer l'aire grâce à une intégrale simple, le calcul de l'aire avec une intégrale
double donne le même résultat.
Soit Ll la partie de plan limitée par la courbe y= g(x) d'une fonction g continue
et positive sur un intervalle [a, b], l'axe des abscisses et les deux droites verticales
x =a et x = b. On sait que l'aire de ce domaine Ll est donnée par l'intégrale de
la fonction g entre a et b :
aire(Ll) =lb g(x) dx.
Maintenant, on peut aussi dire que Ll est caractérisé par {
On a donc
a~x~b
0 ~y~ g(x)
/J~
l b log(x) lb[ ]y=g(x)
1 dx dy =
dx
1 dy =
y _
dx
t::,,,
a
0
a
Y-0
=lb g(x) dx = aire(Ll)
On a bien retrouvé le même résultat avec les deux méthodes.
Nous disposons maintenant de 3 méthodes pour calculer les aires, avec la méthode
des intégrales curvilignes (p. 190).
5.2.3 Changement de variables
Rappel pour intégrales simples
Vous avez certainement rencontré, dans un cours d'analyse élémentaire, la formule
suivante de changement de variable dans une intégrale (simple)
(5.6)
1b f(x) dx = 1cp(f3) f(x) dx = ! 13 (f 0 cp)(t) cp'(t) dt.
a
cp(a)
la