5.2 INTÉGRALE DOUBLE
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En appliquant le résultat, on obtient donc
I = j
0 dyjv'Y-FI (1 + x - y) dx
-1
-v'Y-Fî
= /_
0
1
dy [x + ~ 2
- yx] x=v'Y-FI
(On intègre ici par rapport à x)
x=-v'Y-FI
= /_
0
1 ( 2../Y+f. - 2y../Y+f.) dy = /_
0
1 ( 4..;y+f. - 2(y + 1)!) dy
= [4(y--;- 1)! - 2(y + 1) 5 1 2 ]
0 = ~ - i = 28.
2
5/2
-1
3 5
15
On a bien trouvé le même résultat.
Variables séparables
La proposition qui va suivre est, elle, extrêmement simple à établir, et même si
elle n'était pas énoncée, on la découvrirait rapidement lors de calculs pratiques.
Elle concerne les cas fréquents, où d'une part le domaine est un rectangle (sous la
forme [a, b] x [c, d]), et d'autre part f peut se décomposer comme produit d'une
fonction de x par une fonction de y (on a f(x, y)= g(x) h(y) ).
Proposition 5.8 (variables séparables) Soit f est une fonction telle que pour
tout (x, y) on a f(x, y) = g(x) h(y). Soit l::l. = [a, b] x [c, d] (l::l. est un «rectangle»),
Alors on peut « séparer les variables », et l'intégrale double sur l::l. de f s'écrit
comme le produit de deux intégrales simples :
Nous utiliserons souvent cette proposition dans les calculs d'intégrales doubles et
on fera souvent des changements de variables pour se ramener à cette situation.
Calculs d'aire
Un résultat important et assez facile à comprendre est celui-ci qui permet d'utiliser
les intégrales doubles pour calculer l'aire d'un domaine l::l..
Proposition 5.9 (aires) L'aire d'un domaine l::l. régulier est donnée par la formule
aire(l::l.) = Jl 1 dx dy = j l dx dy.