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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
C'est cette propriété qui permet de définir l'intégrale double d'une fonction sur
un domaine « biscornu », en plusieurs morceaux, ou à trous : on le découpe en
morceaux simples, on applique la définition sur chaque morceau, et on additionne
les résultats.
Changement de l'ordre des variables
Nous formalisons ici une idée très simple : dans l'introduction, nous avons découpé
le volume en coupant en tranches perpendiculaires à l'axe des x. Nous aurions
aussi bien pu découper en tranches en suivant une direction perpendiculaire à
l'axe des y, et intuitivement le résultat ne devrait pas être différent. Il faut avoir
conscience que la démonstration du théorème qui va suivre traduisant cette idée
simple est en fait extrêmement difficile.
Théorème 5. 7 (Fubini) On suppose que le domaine !:::.. : {
a~x~b
u(x) ~y~ v(x)
t
•At
t ' " '
l
t'
{
a~y~f3
peu aussi e re carac erise par e sys eme
( ) /
/
( )
WI y :::::, X:::::, W2 y.
Alors on a
R
1
b
1v(x)
1/ 3 1w2(y)
f(x, y) dx dy =
dx
f(x, y) dy =
dy
f(x, y) dx.
6.
a
u(x)
a
w1(y)
Nous allons appliquer ce résultat pour recalculer l'intégrale double vue juste après
la définition p. 217:
I =Ji (1 + x -y) dx dy.
L d
.
J\
•
A
,
•
,
{
-1 ~X~ 1
e omame u pouvait etre caractense par x2 _ 1 ~y~ O.
En cherchant les bornes du domaine de variation des x, puis en cherchant, pour
chaque x fixé comment varie y, ce domaine admet aussi une caractérisation dans
laquelle l'ordre des variables est inverse.
Il est clair que y reste toujours entre -1 et 0 lorsque ( x, y) est dans le domaine tl.
(voir la figure p. 217). Ensuite, pour chaque y fixé (cela revient à se placer sur
une droite horizontale), x varie entre deux valeurs opposées qui sont les abscisses
des intersections de la parabole avec cette droite horizontale.
Puisque la parabole est caractérisée par y = x 2 - 1 {:::::::} x 2 = y + 1 {:::::::} x ==
±.;y+î, on peut affirmer que le domaine !:::.. est aussi caractérisé par
(
) !:::..
{
-1 ~y~ 0
X, y E
{:::::::}
.;y+î ~ X ~ .;y+î.