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5.2 INTÉGRALE DOUBLE
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Linéarité
Proposition 5.4 (linéarité)
Quelles que soient les fonctions f et g, et quelles que soient les constantes réelles
À,µ on a:
JL. ( >-.f(x, y)+ µg(x, y)) dx dy =).. JL. f(x, y) dx dy + µ Jl g(x, y) dx dy.
Domaines négligeables
Proposition 5.5 Si ~est un domaine d'aire nulle 1 , alors pour toute fonction f,
on a
Jl f(x, y) dx dy =O.
C'est ce résultat qui permettra d'affirmer que le fait que les inégalités soient larges
ou strictes dans la définition du domaine ~ est sans importance. Grâce au résultat
suivant, la différence entre l'intégrale double sur l'adhérence et sur l'intérieur (au
sens topologique) d'un domaine régulier, dont la frontière est une courbe, c'est
simplement l'intégrale double sur cette frontière qui est donc nulle.
Nous retiendrons que pour un domaine régulier, dont la frontière a une aire nulle,
on a (avec les notations de la p. 23)
JL. f(x, y) dx dy =Ji f(x, y) dx dy =Ji f(x, y) dx dy.
Additivité
Nous énonçons ici une propriété qui généralise la relation de Chasles pour les
intégrales simples :
1c J(x) dx = 1b f(x) dx + 1c f(x) dx qu'on peut écrire, lorsque a< b < c:
r J(x) dx = r J(x) dx + r f(x) dx.
J(a,c]
l(a,b]
J(b,c]
Proposition 5.6 (additivité)
Si~' ~1, ~2 sont des domaines tels que~= ~1 U ~2, avec ~1 n ~2 d'aire nulle,
alors
JL. f(x, y) dx dy = JL.
1
f(x, y) dx dy + JL.
2
f(x, y) dx dy
Nous comprendrons cette notion d'aire nulle dans le sens le plus intuitif : un domaine formé d'un
segment, d'une courbe, d'un point, ou d'une réunion d'un nombre fini de tels domaines est d'aire
nulle