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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
• Il subsiste quand même une difficulté : c'est que la variable d'intégration dans
ces calculs d'intégrales simples n'est pas toujours la même (c'est une fois y puis
une fois x). Pour éviter des erreurs, il est conseillé d'écrire quelle est la variable
concernée aux bornes des crochets. D'autre part il faut auparavant faire très
attention quand on primitive : la primitive de 1, ce n'est pas forcément x : à la
deuxième ligne, comme c'est y qui est la variable d'intégration, c'est y qui est
la primitive de 1, xy la primitive de x etc.
5.2.2 Propriétés de l'intégrale double
Nous ne démontrerons aucune de ces propriétés. Certaines démonstrations seraient
simplement techniques et pas très difficiles, mais un certain nombre de théorèmes
sont de démonstration extrêmement délicate et inaccessible à notre niveau.
Il faut retenir que l'intégrale double est une technique d'intégration, et à ce titre,
elle a à peu près les mêmes propriétés que les autres techniques d'intégration,
donc par exemple que l'intégration des fonctions d'une variable.
Dans tous les énoncés qui suivent, les fonctions considérées sont toujours des
fonctions de deux variables continues. D'autre part ~ est un domaine sur lequel
on peut calculer une intégrale double.
Positivité
Proposition 5.2 (positivité)
Si f est une fonction telle que pour tout (x, y) E ~on a f(x, y) ~ 0,
Alors on a
Il f(x, y) dx dy ~O.
Remarquons que l'introduction de ce chapitre rend ce résultat complètement
évident, puisque l'intégrale double ci-dessus peut lorsque f est positive être
interprétée comme le volume d'une partie de l'espace, et qu'un volume est toujours
positif.
Un corollaire évident de ce résultat est le suivant :
Corollaire 5.3 Si f et g sont deux fonctions telles que pour tout (x, y) E ~on
a f(x, y) ~ g(x, y),
Alors on a
Il f(x,y) dx dy ~ Jl g(x,y) dx dy.
(Pour être honnête, il faut signaler que la démonstration du corollaire demande
d'utiliser la linéarité du§ suivant.)
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
• Il subsiste quand même une difficulté : c'est que la variable d'intégration dans
ces calculs d'intégrales simples n'est pas toujours la même (c'est une fois y puis
une fois x). Pour éviter des erreurs, il est conseillé d'écrire quelle est la variable
concernée aux bornes des crochets. D'autre part il faut auparavant faire très
attention quand on primitive : la primitive de 1, ce n'est pas forcément x : à la
deuxième ligne, comme c'est y qui est la variable d'intégration, c'est y qui est
la primitive de 1, xy la primitive de x etc.
5.2.2 Propriétés de l'intégrale double
Nous ne démontrerons aucune de ces propriétés. Certaines démonstrations seraient
simplement techniques et pas très difficiles, mais un certain nombre de théorèmes
sont de démonstration extrêmement délicate et inaccessible à notre niveau.
Il faut retenir que l'intégrale double est une technique d'intégration, et à ce titre,
elle a à peu près les mêmes propriétés que les autres techniques d'intégration,
donc par exemple que l'intégration des fonctions d'une variable.
Dans tous les énoncés qui suivent, les fonctions considérées sont toujours des
fonctions de deux variables continues. D'autre part ~ est un domaine sur lequel
on peut calculer une intégrale double.
Positivité
Proposition 5.2 (positivité)
Si f est une fonction telle que pour tout (x, y) E ~on a f(x, y) ~ 0,
Alors on a
Il f(x, y) dx dy ~O.
Remarquons que l'introduction de ce chapitre rend ce résultat complètement
évident, puisque l'intégrale double ci-dessus peut lorsque f est positive être
interprétée comme le volume d'une partie de l'espace, et qu'un volume est toujours
positif.
Un corollaire évident de ce résultat est le suivant :
Corollaire 5.3 Si f et g sont deux fonctions telles que pour tout (x, y) E ~on
a f(x, y) ~ g(x, y),
Alors on a
Il f(x,y) dx dy ~ Jl g(x,y) dx dy.
(Pour être honnête, il faut signaler que la démonstration du corollaire demande
d'utiliser la linéarité du§ suivant.)