5.2 INTÉGRALE DOUBLE
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L'avantage d'écrire dx dès le début est qu'on voit bien ainsi à quelle variable
se rapportent les bornes d'intégration a et b, et aussi cela évite l'usage de ces
grandes parenthèses.
Premier exemple :
On cherche à calculer l'intégrale double de la
fonction
f : (x, y) t-----t 1 + x - y sur le domaine ~
représenté sur la figure ci-contre : la partie de
plan comprise entre la parabole y = x 2 - 1 et
l'axe des abscisses.
Pratiquement, la seule difficulté, dans ce type
de calcul consiste à écrire une caractérisation
du domaine ~ sous la forme d'un système
d'inégalités comme dans la définition.
-1
Ici il est clair que les abscisses des points de ~ sont comprises entre -1 et 1, les
ordonnées étant elles entre x 2 -1 et 0, donc un système d'inéquations caractérisant
 est
{
-1~X~1
x 2 -1 ~y~ O.
On applique donc la définition et on obtient
{{ (l+x-y)dxdy=f
1 dx r
0
(l+x-y)dy
JJt::.
-1 lx2-1
~ J_' 1 dx[v+xy- y:[,_,
= j_11 - [(x2 - 1) + x(x2 - 1) - (x2 ~ 1)2] dx
=
- - x - 2x + x + - dx
1
1
(x
4
3
2
3)
-1
2
2
= [xs - x4 - 2x3 + x2 + 3xix=l
10
4
3
2
2 x=-l
1 4
28
= 5- 3 + 3 = 15'
Quelques remarques concernant ce calcul.
• Avec cette définition, dès qu'on a défini correctement le domaine d'intégration,
le calcul d'une intégrale double se ramène immédiatement au calcul de deux
intégrales simples successives.