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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
5.2 Intégrale double
5.2.1 Une définition de l'intégrale double
Nous formalisons maintenant la définition qui a été justifiée dans l'introduction
dans le cas d'une fonction positive. Mais maintenant nous l'appliquons à une
fonction f qui n'est plus supposée positive : elle peut être positive, négative ou
changer de signe sur le domaine Li.
Définition 5.1 Soit f une fonction continue sur un domaine Li de JR 2 . On suppose
que ce domaine Li peut être défini par
(
) Li
{
a::::;x::::;b
x, y E
{::::::::>
u(x) ::::; y ::::; v(x),
a et b étant des réels et u et v des fonctions d'une variable réelle tels que
a< b et Vx E [a, b], u(x) ::::; v(x).
Alors l'intégrale double de la fonction f sur le domaine Li est le nombre réel
(5.5)
JL f(x, y) dx dy =lb (1~::) f(x, y) dy) dx.
Quelques précisions concernant cette définition.
• Tout d'abord, nous supposons la fonction f continue: ce n'est pas une obligation
théorique, mais en pratique on n'étudie guère que des intégrales doubles de
telles fonctions, et ça simplifie les énoncés.
• Ensuite, nous supposons que Li peut être défini par ce système de deux inégalités :
cela suppose que le domaine Li n'est pas trop biscornu, et n'a pas de trou. En
fait, on peut calculer des intégrales doubles sur des domaines plus compliqués,
à condition de couper ces domaines en morceaux « simples », et d'appliquer
une espèce de relation de Chasles que nous verrons plus loin à la proposition
5.6 (p. 219).
• Dans le système définissant .Li, nous avons écrit des inégalités larges : cela
suppose que le domaine .Li est fermé. En fait, ce n'est pas une obligation, et
pour un domaine qui serait ouvert (inégalités strictes dans le système), ou ni
ouvert ni fermé (il y a par exemple à la fois des inégalités larges et des inégalités
strictes), mais quand même suffisamment régulier (disons pour qu'on puisse
le représenter par un dessin : définir rigoureusement cette régularité est une
mission impossible à notre niveau), on pourrait néanmoins calculer l'intégrale
double de f sur ce domaine : elle aurait la même valeur que l'intégrale double
sur l'adhérence du domaine (voir§ 1.6.1 p. 23), ceci grâce à deux résultats que
nous verrons un peu plus loin.
• Une dernière chose : on écrit souvent fb dx 1v(x) J(x, y) dy; cette expression
la
u(x)
a exactement la même signification que le deuxième membre de l'égalité (5.5).
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
5.2 Intégrale double
5.2.1 Une définition de l'intégrale double
Nous formalisons maintenant la définition qui a été justifiée dans l'introduction
dans le cas d'une fonction positive. Mais maintenant nous l'appliquons à une
fonction f qui n'est plus supposée positive : elle peut être positive, négative ou
changer de signe sur le domaine Li.
Définition 5.1 Soit f une fonction continue sur un domaine Li de JR 2 . On suppose
que ce domaine Li peut être défini par
(
) Li
{
a::::;x::::;b
x, y E
{::::::::>
u(x) ::::; y ::::; v(x),
a et b étant des réels et u et v des fonctions d'une variable réelle tels que
a< b et Vx E [a, b], u(x) ::::; v(x).
Alors l'intégrale double de la fonction f sur le domaine Li est le nombre réel
(5.5)
JL f(x, y) dx dy =lb (1~::) f(x, y) dy) dx.
Quelques précisions concernant cette définition.
• Tout d'abord, nous supposons la fonction f continue: ce n'est pas une obligation
théorique, mais en pratique on n'étudie guère que des intégrales doubles de
telles fonctions, et ça simplifie les énoncés.
• Ensuite, nous supposons que Li peut être défini par ce système de deux inégalités :
cela suppose que le domaine Li n'est pas trop biscornu, et n'a pas de trou. En
fait, on peut calculer des intégrales doubles sur des domaines plus compliqués,
à condition de couper ces domaines en morceaux « simples », et d'appliquer
une espèce de relation de Chasles que nous verrons plus loin à la proposition
5.6 (p. 219).
• Dans le système définissant .Li, nous avons écrit des inégalités larges : cela
suppose que le domaine .Li est fermé. En fait, ce n'est pas une obligation, et
pour un domaine qui serait ouvert (inégalités strictes dans le système), ou ni
ouvert ni fermé (il y a par exemple à la fois des inégalités larges et des inégalités
strictes), mais quand même suffisamment régulier (disons pour qu'on puisse
le représenter par un dessin : définir rigoureusement cette régularité est une
mission impossible à notre niveau), on pourrait néanmoins calculer l'intégrale
double de f sur ce domaine : elle aurait la même valeur que l'intégrale double
sur l'adhérence du domaine (voir§ 1.6.1 p. 23), ceci grâce à deux résultats que
nous verrons un peu plus loin.
• Une dernière chose : on écrit souvent fb dx 1v(x) J(x, y) dy; cette expression
la
u(x)
a exactement la même signification que le deuxième membre de l'égalité (5.5).