5.1 INTRODUCTION
215
z
o·
(5.4)
u x)
l'(X)
y
Les droites verticales : elles correspondent aux frontières verticales de la
section frontale correspondant à la valeur x du volume à calculer. Représentons le
domaine b.. dans le plan Oxy. Nous supposons qu'il existe deux fonctions y= u(x)
() ·
11
A
~
, • ,
{
a~x~b
et y = v x qm sont te es que u peut etre caractense par
( ) _, , , . _, , , . ( )
ux :::::,.y:::::,.vx.
En d'autres termes, dans le plan Oxy (qui est a priori horizontal), le domaine b..
est limité par « en bas » par la courbe de la fonction u, et par « en haut » par la
fonction v, (et en plus par la gauche par la droite x = a et par la droite par la
droite x = b).
Les droites verticales du plan O'yz de la section frontale que l'on étudie ont donc
comme équation y= u(x) et y= v(x).
La fonction g : elle correspond à la frontière supérieure du volume étudié, pour
x fixé, avec y qui varie. C'est donc la deuxième fonction partielle de la fonction f
en (x, y). On a donc g(y) = f(x, y).
Récapitulation.
On trouve donc A(x) comme intégrale entre u(x) et v(x) de la fonction g :
1.
v(x)
1.v(x)
A(x) =
g(y) dy =
f(x, y) dy.
u(x)
u(x)
Finalement, on a « établi » (ou plutôt illustré) que
Jl f(x, y) dx dy =V= 1b (1~::) f(x, y) dy) dx.
Nous allons maintenant être un peu plus rigoureux. Pour cela, nous prendrons
cette dernière formule comme définition de l'intégrale double.