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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
z
0.~--'---11-----'------H-+-----y
(5.3)
X
Pour calculer le volume introduit dans le § précédent, une autre méthode (que
le découpage en « allumettes ») consiste à faire un découpage en tranches : pour
chaque x compris entre les deux valeurs extrêmes correspondant aux « bords »
de~ (a et b sur notre figure), on considère la tranche d'épaisseur dx du volume
à déterminer, comprise entre deux plans frontaux (parallèles au plan Oyz). Soit
dV(x) le volume de cette tranche.
On assimile cette tranche à un «cylindre» (ou prisme si vous préférez), de base
une surface formée de l'intersection du volume à calculer avec le plan frontal
correspondant à x, et d'épaisseur dx. Si A(x) est l'aire de la base de cette «tranche
élémentaire », on peut dire que
dV(x) = A(x) dx,
donc
V= j dV(x) =lb A(x) dx.
Calculons maintenant la valeur de A(x). Pour cela examinons la forme de cette
« base ». Elle est située dans un plan parallèle à Oyz (frontal); les axes de
coordonnées naturels, dans ce plan, sont O' y et O' z ( O' est un point de Ox : il a
pour coordonnées (x, 0, 0)).
La surface dont on cherche l'aire est comprise entre l'axe des abscisses (Oy), une
courbe de fonction positivez= g(y), et deux droites verticales. On sait qu'une
telle aire peut se calculer à l'aide d'une intégrale (simple!), mais on doit préciser
quelques éléments : quelle sont ces droites verticales, et quelle est cette fonction
g?