5.1 INTRODUCTION
213
Supposons que f soit une fonction continue sur un domaine ~ (cela s'interprète
graphiquement par le fait que la nappe n'a « pas d'accroc » ), et de plus nous
supposerons que f est positive sur ~ : cela signifie que la nappe représentative
est «au-dessus» du plan z = 0 qui contient les axes de coordonnées Ox et Oy.
Le calcul d'une intégrale de la fonction f sur ce domaine se comprend alors
géométriquement comme le calcul du volume de la partie de l'espace situé «audessus » du domaine ~' entre le plan z = 0 et la nappe représentative de f,
d'équation z = f(x, y).
(5.2)
Pour calculer ce volume, une démarche analogue à la situation précédente consiste
à découper le domaine ~ en petits rectangles élémentaires de longueur et largeur
dx et dy, à partir de chaque point (x,y) (on fait abstraction de ce qui se passe au
bord). On considère alors le découpage correspondant du volume à calculer en
petites «allumettes », qu'on assimile à des parallélépipèdes rectangles de base
dx dy et de hauteur f(x, y), donc de volume dV = f(x, y) dx dy. Le volume
total est la somme (infinie) de tous ces volumes élémentaires, et on note cette
somme à l'aide du symbole jj, pour signifier que le découpage est «doublement
infini» en x et en y (bien sûr, mathématiquement, tout ceci n'est pas parfaitement
rigoureux). Lorsqu'on abordera le calcul de ces intégrales, on comprendra mieux
pourquoi il est logique de doubler ce symbole somme. On note donc
V= JL f(x,y) dx dy.
5.1.3 Méthode de calcul d'une intégrale double
Attention : le rais.onnement qui suit n'a pas la prétention d'être rigoureux. Il veut
simplement donner quelques explications « physiques » pour aider à comprendre
la notion d'intégrale double.
213
Supposons que f soit une fonction continue sur un domaine ~ (cela s'interprète
graphiquement par le fait que la nappe n'a « pas d'accroc » ), et de plus nous
supposerons que f est positive sur ~ : cela signifie que la nappe représentative
est «au-dessus» du plan z = 0 qui contient les axes de coordonnées Ox et Oy.
Le calcul d'une intégrale de la fonction f sur ce domaine se comprend alors
géométriquement comme le calcul du volume de la partie de l'espace situé «audessus » du domaine ~' entre le plan z = 0 et la nappe représentative de f,
d'équation z = f(x, y).
(5.2)
Pour calculer ce volume, une démarche analogue à la situation précédente consiste
à découper le domaine ~ en petits rectangles élémentaires de longueur et largeur
dx et dy, à partir de chaque point (x,y) (on fait abstraction de ce qui se passe au
bord). On considère alors le découpage correspondant du volume à calculer en
petites «allumettes », qu'on assimile à des parallélépipèdes rectangles de base
dx dy et de hauteur f(x, y), donc de volume dV = f(x, y) dx dy. Le volume
total est la somme (infinie) de tous ces volumes élémentaires, et on note cette
somme à l'aide du symbole jj, pour signifier que le découpage est «doublement
infini» en x et en y (bien sûr, mathématiquement, tout ceci n'est pas parfaitement
rigoureux). Lorsqu'on abordera le calcul de ces intégrales, on comprendra mieux
pourquoi il est logique de doubler ce symbole somme. On note donc
V= JL f(x,y) dx dy.
5.1.3 Méthode de calcul d'une intégrale double
Attention : le rais.onnement qui suit n'a pas la prétention d'être rigoureux. Il veut
simplement donner quelques explications « physiques » pour aider à comprendre
la notion d'intégrale double.