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CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Pour terminer, nous parlerons des intégrales de surface et de la notion de flux,
qui jouent en dimension 3 le même rôle que les intégrales curvilignes dans le plan.
Nous terminerons par les Théorèmes de Stokes-Ampère et d'Ostrogradski, les deux
possibilités de version 3D de Green-Riemann avec des démonstrations partielles
de ces théorèmes très difficiles.
5.1.2 Introduction géométrique
Commençons par essayer de nous rappeler comment fonctionne une intégrale
simple (de Riemann).
Lorsqu'on cherche à comprendre la symbolique utilisée dans l'intégrale I ==
lb f(x) dx d'une fonction f régulière (au moins continue) sur une intervalle [a, b],
on peut l'interpréter ainsi, lorsque la fonction f est positive sur cet intervalle, ·
c'est-à-dire lorsque pour tout x E [a, b], on a f(x) ~ 0 :
(5.1)
a
X
b
Sachant que I mesure l'aire de la partie de plan située entre la courbe et l'axe
des abscisses d'une part, et entre les droites verticales x = a et x = b d'autre
part, c'est-à-dire au-dessus du domaine d'intégration qui est l'intervalle [a, b], pour
calculer cette aire, on découpe l'intervalle [a, b] en « intervalles élémentaires »
[x, x + dx], de largeur dx, et on considère alors le découpage correspondant de
la surface dont on cherche l'aire. Elle se trouve donc découpée en fines tranches
d'épaisseur dx, et on assimile chaque tranche à un rectangle de largeur dx, et de
hauteur f(x), donc d'aire dA = f(x) dx. L'aire totale est donc égale à la somme
des aires de ces « rectangles élémentaires », et les dx étant infiniment petits, cette
somme contient une infinité de termes, c'est pourquoi on la note avec le symbole
d'intégration j, qui désigne une somme infinie.
Soit maintenant une fonction de deux variables f ( x, y). Par analogie avec la courbe
représentative d'une fonction d'une seule variable, une représentation graphique de
cette fonction f est ce qu'on appelle la nappe d'équation z = f(x, y). On dit aussi
une surface : c'est l'ensemble des points (x, y, z) de l'espace tels que z = f(x, y).
CHAPITRE 5. CALCULS D'INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
Pour terminer, nous parlerons des intégrales de surface et de la notion de flux,
qui jouent en dimension 3 le même rôle que les intégrales curvilignes dans le plan.
Nous terminerons par les Théorèmes de Stokes-Ampère et d'Ostrogradski, les deux
possibilités de version 3D de Green-Riemann avec des démonstrations partielles
de ces théorèmes très difficiles.
5.1.2 Introduction géométrique
Commençons par essayer de nous rappeler comment fonctionne une intégrale
simple (de Riemann).
Lorsqu'on cherche à comprendre la symbolique utilisée dans l'intégrale I ==
lb f(x) dx d'une fonction f régulière (au moins continue) sur une intervalle [a, b],
on peut l'interpréter ainsi, lorsque la fonction f est positive sur cet intervalle, ·
c'est-à-dire lorsque pour tout x E [a, b], on a f(x) ~ 0 :
(5.1)
a
X
b
Sachant que I mesure l'aire de la partie de plan située entre la courbe et l'axe
des abscisses d'une part, et entre les droites verticales x = a et x = b d'autre
part, c'est-à-dire au-dessus du domaine d'intégration qui est l'intervalle [a, b], pour
calculer cette aire, on découpe l'intervalle [a, b] en « intervalles élémentaires »
[x, x + dx], de largeur dx, et on considère alors le découpage correspondant de
la surface dont on cherche l'aire. Elle se trouve donc découpée en fines tranches
d'épaisseur dx, et on assimile chaque tranche à un rectangle de largeur dx, et de
hauteur f(x), donc d'aire dA = f(x) dx. L'aire totale est donc égale à la somme
des aires de ces « rectangles élémentaires », et les dx étant infiniment petits, cette
somme contient une infinité de termes, c'est pourquoi on la note avec le symbole
d'intégration j, qui désigne une somme infinie.
Soit maintenant une fonction de deux variables f ( x, y). Par analogie avec la courbe
représentative d'une fonction d'une seule variable, une représentation graphique de
cette fonction f est ce qu'on appelle la nappe d'équation z = f(x, y). On dit aussi
une surface : c'est l'ensemble des points (x, y, z) de l'espace tels que z = f(x, y).