CHAPITRE 5
Calculs d'intégrales doubles, triples et de surface
5.1 Introduction
5.1.1 Notions abordées
Nous ne ferons pas dans ce cours de théorie de l'intégrale multiple, double ou
triple, comme on a introduit l'intégrale de Riemann pour les fonctions d'une seule
variable. Ce n'est pas impossible, mais c'est assez vain, car un peu plus tard, on
introduit une notion plus générale, bien plus intéressante, qui englobe toutes ces
situations, et qui est l'intégrale de Lebesgue : ce serait un gaspillage d'énergie de
vouloir être trop rigoureux à notre niveau. En revanche, il est essentiel de savoir
calculer ces intégrales doubles et triples et de savoir à quoi elles correspondent. Il
en est de même pour les intégrales de surface.
Dans un premier temps, nous expliquerons comment comprendre l'intégrale double
d'une fonction de deux variables sur un certain domaine du plan, en restant dans
des situations simples : le domaine est « suffisamment régulier », et la fonction est
continue. Nous pousserons au maximum l'analogie avec l'intégrale simple, puis
nous expliquerons une formule de calcul en privilégiant une des deux variables.
Ensuite, nous donnerons toutes les règles élémentaires de calcul sur cette intégrale,
qui sont les mêmes que pour tous les calculs d'intégrales : linéarité, positivité,
relation de Chasles ... Nous admettrons toutes ces propriétés « élémentaires », et
aussi deux propriétés beaucoup plus compliquées : le théorème de Fubini, qui est
très logique, puisqu'il dit simplement que le fait d'avoir privilégié une variable
plutôt que l'autre ne modifie pas le résultat, et surtout la formule de changement
de variables, qui nous donnera l'occasion d'appliquer ce qu'on a vu sur le Jacobien
d'un changement de variable.
Nous verrons ensuite le Théorème de Green-Riemann dont nous avons utilisé un
aspect au chapitre IV. Sa démonstration, assez difficile (mais on peut la sauter en
première lecture), dont nous donnons un aperçu permet de reprendre les définitions
vues jusque là.
Nous étendrons ensuite rapidement toutes ces notions aux intégrales triples.
Calculs d'intégrales doubles, triples et de surface
5.1 Introduction
5.1.1 Notions abordées
Nous ne ferons pas dans ce cours de théorie de l'intégrale multiple, double ou
triple, comme on a introduit l'intégrale de Riemann pour les fonctions d'une seule
variable. Ce n'est pas impossible, mais c'est assez vain, car un peu plus tard, on
introduit une notion plus générale, bien plus intéressante, qui englobe toutes ces
situations, et qui est l'intégrale de Lebesgue : ce serait un gaspillage d'énergie de
vouloir être trop rigoureux à notre niveau. En revanche, il est essentiel de savoir
calculer ces intégrales doubles et triples et de savoir à quoi elles correspondent. Il
en est de même pour les intégrales de surface.
Dans un premier temps, nous expliquerons comment comprendre l'intégrale double
d'une fonction de deux variables sur un certain domaine du plan, en restant dans
des situations simples : le domaine est « suffisamment régulier », et la fonction est
continue. Nous pousserons au maximum l'analogie avec l'intégrale simple, puis
nous expliquerons une formule de calcul en privilégiant une des deux variables.
Ensuite, nous donnerons toutes les règles élémentaires de calcul sur cette intégrale,
qui sont les mêmes que pour tous les calculs d'intégrales : linéarité, positivité,
relation de Chasles ... Nous admettrons toutes ces propriétés « élémentaires », et
aussi deux propriétés beaucoup plus compliquées : le théorème de Fubini, qui est
très logique, puisqu'il dit simplement que le fait d'avoir privilégié une variable
plutôt que l'autre ne modifie pas le résultat, et surtout la formule de changement
de variables, qui nous donnera l'occasion d'appliquer ce qu'on a vu sur le Jacobien
d'un changement de variable.
Nous verrons ensuite le Théorème de Green-Riemann dont nous avons utilisé un
aspect au chapitre IV. Sa démonstration, assez difficile (mais on peut la sauter en
première lecture), dont nous donnons un aperçu permet de reprendre les définitions
vues jusque là.
Nous étendrons ensuite rapidement toutes ces notions aux intégrales triples.