5.5 EXERCICES
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En effet, d'après Ostrogradski, en supposant que~ est un champ de classe C 1
sur l::l., nous pouvons écrire
[{{ div(~) dx dy dz = {{
~ do-.
~
~+uE~
Mais la divergence d'un rotationnel est nulle (voir la remarque précédente), donc
le membre de gauche est nul et on a
d'où le résultat.
D
5.5 Exercices
Pour tous les exercices qui suivent (1 à 17), il s'agit de calculer l'intégrale double
I sur le domaine D qui est en général précisé. Il est recommandé de représenter,
dans chaque cas le domaine D.
{{ dx dy
{
2
Exercice 5.1. I = JJv (x + y) 3 pour 1J = (x,y) E lR 1x~1; y~ 1; x+y ~
3}.
Exercice 5.2. I = Jfv (::~ 2 ; 1J = {(x,y) E JR. 2 1x~0;y~0; 1 ~
x+y~2}.
Exercice 5.3. I = Jfv (l : : ;y) 3 ; 1J = { (x, y) E JR. 2 1 x ~ 0; y~ 0; x+y ~
1}.
Exercice 5.4. I = Jfv (xd: ~~ 3 ; 1J = { (x, y) E JR. 2 l 1 ~ x ~ 3; y~ 2; x+y ~
5}.
Exercice 5.5. I - {{
dx dy
·
- JJv (l + x 2 )(1 + y 2 ) '
'D = { (x, y) E JR. 2 1Ü~X~1 j Ü ~y~ 1 }.