Applications des int´ egrales
83
4.7.6
Abscisse curviligne comme param` etre
Si la courbe est donn´ ee sous forme explicite y = y(x), alors
s(x) =
x
a
1 +
dy
dξ
2
dξ
Si la courbe est param´ etr´ ee par {x = x(t); y = y(t)}, alors
s(t) =
t
t 1
dx
dτ
2
+
dy
dτ
2
dτ
y
x
a
← x →
t 1
t
4.7.7
Abscisse curviligne et vecteur tangent
Soit une courbe param´ etr´ ee par l’abscisse curviligne {x = x(s); y =
y(s)} ; alors
dx
ds
2
+
dy
ds
2
= 1
Proposition. Le vecteur tangent d’une courbe param´ etr´ ee
par l’abscisse curviligne est de longueur ≡ 1.