82
Int´ egrales de fonctions d’une variable
4.7.4
Longueur d’un arc de courbe (plane)
On a pour l’´ el´ ement d’arc ds :
ds
2 = dx
2 + dy
2
ds =
1 +
dy
dx
2
dx
La longueur de l’arc AB (abscisse curviligne) est
L AB =
b
a
1 +
y
2 dx
=
B
A
ds
y
x
a
b
A
B
dx
dy
ds
4.7.5
Longueur d’un arc param´ etr´ e
Pour une courbe param´ etr´ ee
x = x(t); y = y(t)
avec t 1 t t 2 ,
on a
ds =
dx 2 + dy 2 =
dx
dt
2
+
dy
dt
2
dt
d’o` u la longueur de l’arc AB
L AB =
B
A
ds
=
t 2
t 1
x 2 + y 2 dt
y
x
A
B
t 1
t 2