Applications des int´ egrales
81
4.7.2
Aire d´ elimit´ ee par une courbe ferm´ ee
Soit une courbe ferm´ ee param´ etr´ ee
x = x(t); y = y(t)
o` u x(t 1 ) =
x(t 2 ) et y(t 1 ) = y(t 2 ); alors l’aire «int´ erieure» est
A = −
t 2
t 1
y · x
dt
y
x
P
t 1 t 2
+
Autre formule : A =
t 2
t 1
x · y
dt .
Formule « sym´ etrique» : A =
1
2
t 2
t 1
(xy
− x
y) dt .
4.7.3
Aire en coordonn´ ees polaires
L’´ el´ ement d’aire en coordonn´ ees polaires est dA =
ρ 2
2
dρ, donc
A =
1
2
β
α
ρ
2 dϕ
y
x
β
dϕ ρ
ϕ
ρ dϕ
α
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4.7.2
Aire d´ elimit´ ee par une courbe ferm´ ee
Soit une courbe ferm´ ee param´ etr´ ee
x = x(t); y = y(t)
o` u x(t 1 ) =
x(t 2 ) et y(t 1 ) = y(t 2 ); alors l’aire «int´ erieure» est
A = −
t 2
t 1
y · x
dt
y
x
P
t 1 t 2
+
Autre formule : A =
t 2
t 1
x · y
dt .
Formule « sym´ etrique» : A =
1
2
t 2
t 1
(xy
− x
y) dt .
4.7.3
Aire en coordonn´ ees polaires
L’´ el´ ement d’aire en coordonn´ ees polaires est dA =
ρ 2
2
dρ, donc
A =
1
2
β
α
ρ
2 dϕ
y
x
β
dϕ ρ
ϕ
ρ dϕ
α