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Int´ egrales de fonctions d’une variable
Fonctions `
a signe variable
Int´ egrales (g´ en´ eralis´ ee) absolument convergentes
D ´ efinition. Si l’int´ egrale
∞
a
f(x)
dx converge, l’int´ egrale
∞
a
f(x) dx est dite absolument convergente.
Proposition. La convergence absolue d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee implique la convergence; c’est-` a-dire :
si
∞
a
f(x)
dx converge, alors
∞
a
f(x) dx converge aussi.
Remarque. La convergence n’entraˆ ıne pas n´ ecessairement la convergence absolue.
Utilisation des crit` eres pr´ ec´ edents, dans le cas o` u les fonctions ne
sont plus positives. On peut essayer de d´ emontrer la convergence
de
∞
a f(x) dx en ´ etudiant
∞
a
f(x)
dx. Si la deuxi` eme int´ egrale converge, l’int´ egrale originale converge aussi (elle converge mˆ eme absolument). Toutefois, il s’agit l` a d’un crit` ere qui ne permet pas de trancher
la question lorsque l’int´ egrale converge sans converger absolument.
4.6.2
Int´ egrales de certaines fonctions discontinues
(int´ egrales impropres de premi` ere esp` ece)
D ´ efinition. Soit f une fonction continue sur (a , b ].
Si la limite ci-dessous existe, on notera :
b
a
f(x) dx
d´ ef
= lim
ε→0+
b
a+ε
f(x) dx
On dira alors que l’int´ egrale existe ou qu’elle converge.