Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees (appel´ ees aussi int´ egrales impropres)
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Majorer, minorer (crit` ere de comparaison)
Une m´ ethode g´ en´ erale consiste `
a comparer la fonction `
a int´ egrer
avec des fonctions dont on sait que l’int´ egrale impropre existe ou
n’existe pas.
Proposition
(a) Soit f une fonction positive, major´ ee par une fonction M
dont l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee existe. Alors l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee de f existe aussi.
(b) Soit f une fonction positive, minor´ ee par une fonction m
dont l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee n’existe pas. Alors l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee de f n’existe pas non plus.
Fonction test
Proposition.
∞
1
dx
x α existe si et seulement si α > 1.
Crit` ere de convergence (ou d’existence)
Proposition
(a) Soit 0 f cste /x α pour un α > 1; alors
∞
a
f(x) dx existe (converge)
(b) Soit 0 cste /x α f pour un α 1; alors
∞
a
f(x) dx n’existe pas (diverge)
(c) Si aucune des conditions (a) ou (b) n’est satisfaite, le crit` ere
ne s’applique pas.