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Int´ egrales de fonctions d’une variable
y
x
a
b →
→
y = f (x)
Remarque. On admet implicitement que f est int´ egrable.
Deux probl` emes concernant les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
En face d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee, on essayera de r´ epondre aux
deux questions suivantes :
(1) L’int´ egrale, existe-t-elle ?
(2) Quelle est la valeur de l’int´ egrale (si elle existe) ?
Il n’y a pas de m´ ethode g´ en´ erale permettant de r´ epondre `
a ces deux
questions dans n’importe quel cas. Toutefois, les r´ eponses partielles
donn´ ees ci-dessous permettent d’aborder beaucoup de probl` emes qui
se posent dans les applications.
Calcul de la valeur des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
Parfois on peut trouver directement la valeur d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee (le probl` eme de l’existence ´
etant ainsi r´ esolu en mˆ eme temps).
Ceci est souvent possible si l’on connaˆ ıt une primitive F de la fonction
` a int´ egrer f. Le probl` eme est ainsi ramen´ e au calcul de la limite :
∞
a
f(x) dx = lim
b→∞
F (b) − F (a)
D’autres m´ ethodes existent, par exemple par le d´ eveloppement en s´ erie
de Taylor (sect. 6.7).
Existence (convergence) d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee
de fonctions positives
Dans certains cas o` u l’on ne peut pas trouver la valeur d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee, on peut au moins d´ ecider de sa convergence.
Int´ egrales de fonctions d’une variable
y
x
a
b →
→
y = f (x)
Remarque. On admet implicitement que f est int´ egrable.
Deux probl` emes concernant les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
En face d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee, on essayera de r´ epondre aux
deux questions suivantes :
(1) L’int´ egrale, existe-t-elle ?
(2) Quelle est la valeur de l’int´ egrale (si elle existe) ?
Il n’y a pas de m´ ethode g´ en´ erale permettant de r´ epondre `
a ces deux
questions dans n’importe quel cas. Toutefois, les r´ eponses partielles
donn´ ees ci-dessous permettent d’aborder beaucoup de probl` emes qui
se posent dans les applications.
Calcul de la valeur des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
Parfois on peut trouver directement la valeur d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee (le probl` eme de l’existence ´
etant ainsi r´ esolu en mˆ eme temps).
Ceci est souvent possible si l’on connaˆ ıt une primitive F de la fonction
` a int´ egrer f. Le probl` eme est ainsi ramen´ e au calcul de la limite :
∞
a
f(x) dx = lim
b→∞
F (b) − F (a)
D’autres m´ ethodes existent, par exemple par le d´ eveloppement en s´ erie
de Taylor (sect. 6.7).
Existence (convergence) d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee
de fonctions positives
Dans certains cas o` u l’on ne peut pas trouver la valeur d’une int´ egrale g´ en´ eralis´ ee, on peut au moins d´ ecider de sa convergence.