Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees (appel´ ees aussi int´ egrales impropres)
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4.5.3
D´ eriv´ ees d’int´ egrales d´ ependant de leurs limites
Proposition
d
dx
x
a
f(t) dt = f(x) «th´ eor` eme fondamental»;
d
dx
b
x
f(t) dt = −f(x);
d
dx
b(x)
a
f(t) dt
F (b(x))
=
dF
db
·
db
dx
= f
b(x)
· b
(x);
d
dx
b
a(x)
f(t) dt
F (a(x))
=
dF
da
·
da
dx
= −f
a(x)
· a
(x);
d
dx
b(x)
a(x)
f(t) =
d
dx
c
a(x)
+
b(x)
c
= f
b(x)
· b
(x) − f
a(x)
· a
(x) .
4.6 Int´ egrales g´ en´ eralis´ ees
(appel´ ees aussi int´ egrales impropres)
4.6.1
Int´ egrales avec des bornes infinies
(int´ egrales impropres de seconde esp` ece)
D ´ efinition. Si la limite ci-dessous existe, nous ´
ecrivons :
∞
a
f(x) dx
d´ ef
= lim
b→∞
b
a
f(x) dx
On dira alors que l’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee existe ou qu’elle
converge.