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Int´ egrales de fonctions d’une variable
Cons´ equence pratique
Le calcul d’une int´ egrale d´ efinie est ramen´ e `
a
(1) la recherche d’une primitive F ,
(2) F (b) − F (a).
Notation. F
b
a
= F (b) − F (a).
4.5.2
M´ ethode d’int´ egration
S’il ne nous importe pas de connaˆ ıtre une primitive, on peut, dans
certains cas, trouver directement l’int´ egrale d´ efinie.
Int´ egration par parties
Proposition.
b
a
fg
dx = fg
b
a −
b
a
f
g dx .
Substitution
Proposition. Soit I =
b
a f(x) dx. Posons x = ϕ(t) o` u
• ϕ(α) = a, ϕ(β) = b;
• ϕ, ϕ sont continues sur [ α , β ];
• f
ϕ(t)
est d´ efinie et continue sur [α , β ];
alors
I =
β
α
f
ϕ(t)
· ϕ
(t) dt
Compl´ ement. Si ϕ est monotone, on a α = ϕ −1 (a), β = ϕ −1 (b).
Remarque. Du point de vue pratique, la proposition signifie : si , lors
d’un changement de variable dans une int´ egrale d´ efinie, on transforme
aussi les limites d’int´ egration, il n’est alors pas n´ ecessaire de revenir
` a l’ancienne variable.