Th´ eor` eme fondamental du calcul infinit´ esimal
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F (x) =
x
a
f(t) dt
y
x
a
fixe
← x →
variable
y = f (x)
F (x)
Rapport entre int´ egrale d´ efinie et int´ egrale ind´ efinie
(ou : rapport entre calcul diff´ erentiel et int´ egral)
Th ´ eor ` eme. Soit f continue.
Soit F (x) =
x
a
f(t) dt, alors F = f
(c’est-` a-dire F est d´ erivable et est une primitive de f)
Ce th´ eor` eme est appel´ e th´ eor` eme fondamental du calcul infinit´ esimal.
Autre formulation du th´ eor` eme fondamental
(a)
d
dx
x
a
f(t) dx = f(x).
(b) L’int´ egrale d´ efinie, consid´ er´ ee comme une fonction de sa limite sup´ erieure, est une primitive de la fonction `
a int´ egrer.
(c) La d´ eriv´ ee d’une int´ egrale d´ efinie par rapport `
a sa limite sup´ erieure
est la fonction `
a int´ egrer, prise en cette limite sup´ erieure.
Calcul d’int´ egrales d´ efinies `
a l’aide de primitives
La proposition ci-dessous est une cons´ equence imm´ ediate du th´ eor` eme fondamental.
Proposition. Soit F une primitive de f ; alors
b
a
f(x) dx = F (b) − F (a)