72
Int´ egrales de fonctions d’une variable
4.4.2
Fonctions rationnelles de fonctions
trigonom´ etriques
L’int´ egration des fonctions rationnelles de fonctions trigonom´ etriques peut ˆ
etre ramen´ ee `
a l’int´ egration de fonctions rationnelles `
a
l’aide de substitutions bien choisies.
Soit ` a r´ esoudre :
f(cos x, sin x) dx (f rationnelle).
Premier cas. Si f(u, v) est impaire en u (resp. v), c’est-` a-dire si un
changement de signe de cosx (resp. sin x) ne provoque qu’un changement de signe de f(cos x, sin x), alors la substitution t = sin x (resp.
t = cos x) ram` ene le probl` eme `
a l’int´ egration d’une fonction rationnelle.
Deuxi` eme cas. Si f(u, v) est paire en u et v, c’est-` a-dire si cos x et
sin x ne figurent qu’aux puissances paires (c’est-` a-dire f(cos x, sin x)
ne change pas de signe si cosx ou sin x changent de signe), alors la
substitution t = tg x ram` ene le probl` eme `
a une int´ egrale d’une fonction
rationnelle.
Troisi` eme cas. La substitution t = tg(x/2) ram` ene toutes les int´ egrales du type ´
etudi´ e `
a des int´ egrales de fonctions rationnelles.
Dans ce cas on aura :
dx =
2 dt
1 + t 2
cos x =
1 − t 2
1 + t 2
sin x =
2t
1 + t 2
4.5 Th´ eor` eme fondamental du calcul infinit´ esimal
4.5.1
Th´ eor` eme fondamental du calcul infinit´ esimal
Une troisi` eme notion d’int´ egrale
Pour une fonction (int´ egrable) f donn´ ee et une valeur a fixe, nous
consid´ erons l’int´ egrale, fonction de sa limite sup´ erieure :
Int´ egrales de fonctions d’une variable
4.4.2
Fonctions rationnelles de fonctions
trigonom´ etriques
L’int´ egration des fonctions rationnelles de fonctions trigonom´ etriques peut ˆ
etre ramen´ ee `
a l’int´ egration de fonctions rationnelles `
a
l’aide de substitutions bien choisies.
Soit ` a r´ esoudre :
f(cos x, sin x) dx (f rationnelle).
Premier cas. Si f(u, v) est impaire en u (resp. v), c’est-` a-dire si un
changement de signe de cosx (resp. sin x) ne provoque qu’un changement de signe de f(cos x, sin x), alors la substitution t = sin x (resp.
t = cos x) ram` ene le probl` eme `
a l’int´ egration d’une fonction rationnelle.
Deuxi` eme cas. Si f(u, v) est paire en u et v, c’est-` a-dire si cos x et
sin x ne figurent qu’aux puissances paires (c’est-` a-dire f(cos x, sin x)
ne change pas de signe si cosx ou sin x changent de signe), alors la
substitution t = tg x ram` ene le probl` eme `
a une int´ egrale d’une fonction
rationnelle.
Troisi` eme cas. La substitution t = tg(x/2) ram` ene toutes les int´ egrales du type ´
etudi´ e `
a des int´ egrales de fonctions rationnelles.
Dans ce cas on aura :
dx =
2 dt
1 + t 2
cos x =
1 − t 2
1 + t 2
sin x =
2t
1 + t 2
4.5 Th´ eor` eme fondamental du calcul infinit´ esimal
4.5.1
Th´ eor` eme fondamental du calcul infinit´ esimal
Une troisi` eme notion d’int´ egrale
Pour une fonction (int´ egrable) f donn´ ee et une valeur a fixe, nous
consid´ erons l’int´ egrale, fonction de sa limite sup´ erieure :