Int´ egration de fonctions rationnelles
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On introduit t =
x + (a/2)
c
, d’o` u dx = c · dt. Ainsi on trouve
αx + β
x 2 + ax + b
k dx
= −
α
2
1
(k − 1)
x 2 + ax + b
k−1 +
β − (aα/2)
c 2k−1
dt
t 2 + 1
k
I k
Calcul de I k =
1
t 2 + 1
k .
Comme
1
t 2 + 1
k =
1
t 2 + 1
k−1 −
t 2
t 2 + 1
k , on a
I k = I k−1 −
t 2
t 2 + 1
k dt
= I k−1 −
1
2
t
f
·
2t
t 2 + 1
k
g
dt (int´ egration par parties)
= I k−1 −
1
2
−t
(k − 1)
t 2 + 1
k−1 +
dt
(k − 1)
t 2 + 1
k−1
I k−1 /(k−1)
Le r´ esultat est donc
I k =
2k − 3
2(k − 1)
· I k−1 +
t
2(k − 1)
t 2 + 1
k−1
(k 2)
I 1 =
dt
t 2 + 1
= arc tg t + cste