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Int´ egrales de fonctions d’une variable
G´ en´ eralisation du th´ eor` eme de la moyenne (moyenne pond´ er´ ee)
Soient f(x) et p(x) continues sur [ a , b ]; m = min f sur [ a , b ],
M = max f sur [ a , b ], p(x) 0 sur [ a , b ] (poids).
On a alors
m
b
a
p(x) dx
b
a
f(x) · p(x) dx M
b
a
p(x) dx
Th ´ eor ` eme. Il existe ξ ∈ [ a , b ] tel que
b
a
f(x) · p(x) dx = f(ξ) ·
b
a
p(x) dx
f(ξ) est appel´ e moyenne pond´ er´ ee de f.
4.2.3
Changement du symbole de la variable d’int´ egration
Dans une int´ egrale d´ efinie, on peut librement changer la d´ esignation
de la variable d’int´ egration :
b
a
f(x) dx =
b
a
f(t) dt =
b
a
f(A) dA =
b
a
f() d = . . .
4.3 Int´ egrale ind´ efinie (primitive)
4.3.1
Primitive
D´ efinition intuitive
La recherche d’une primitive F d’une fonction f donn´ ee est l’op´ eration inverse de la d´ erivation.
Chercher une primitive :
F
F
= f
d´ eriver
chercher la primitive