Propri´ et´ es de l’int´ egrale d´ efinie
65
m(b − a)
b
a
f(x) dx
M · (b − a)
y
x
a
b
M
m
4.2.2
Th´ eor` eme de la moyenne
D ´ efinition. f =
1
b − a
b
a
f(x) dx est appel´ ee moyenne de f
sur [ a , b ].
Formulation intuitive du th´ eor` eme de la moyenne
Une fonction continue sur [ a , b ] atteint sa moyenne f en un certain
point ξ de [ a , b ].
Autre formulation. L’aire sous la courbe est ´
egale `
a l’aire d’un rectangle de longueur b − a et de hauteur f = f(ξ) (pour un certain ξ).
y
x
a
b
ξ
M
f = f (ξ)
m
De fa¸ con pr´ ecise :
Th ´ eor ` eme (th´ eor` eme de la moyenne). Soit f continue sur
[ a , b ]. Alors il existe ξ ∈ [ a , b ] tel que
b
a
f(x) dx = f(ξ)(b−a).
65
m(b − a)
b
a
f(x) dx
M · (b − a)
y
x
a
b
M
m
4.2.2
Th´ eor` eme de la moyenne
D ´ efinition. f =
1
b − a
b
a
f(x) dx est appel´ ee moyenne de f
sur [ a , b ].
Formulation intuitive du th´ eor` eme de la moyenne
Une fonction continue sur [ a , b ] atteint sa moyenne f en un certain
point ξ de [ a , b ].
Autre formulation. L’aire sous la courbe est ´
egale `
a l’aire d’un rectangle de longueur b − a et de hauteur f = f(ξ) (pour un certain ξ).
y
x
a
b
ξ
M
f = f (ξ)
m
De fa¸ con pr´ ecise :
Th ´ eor ` eme (th´ eor` eme de la moyenne). Soit f continue sur
[ a , b ]. Alors il existe ξ ∈ [ a , b ] tel que
b
a
f(x) dx = f(ξ)(b−a).