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Int´ egrales de fonctions d’une variable
(2)
b
a
f(x) dx +
c
b
f(x) dx =
c
a
f(x) dx.
Cette formule est valable pour tout choix de a, b, c. Il n’est pas
n´ ecessaire que a < b < c.
On parle quelquefois de l’additivit´ e de l’int´ egrale.
y
x
a
b
c
y = f (x)
Propri´ et´ e de lin´ earit´ e :
(3a)
b
a
f(x) + g(x)
dx =
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx .
(3b)
b
a
cste ·f(x) dx = cste ·
b
a
f(x) dx .
In´ egalit´ es
(4) f(x) g(x) sur [ a , b ] implique
b
a
f(x) dx
b
a
g(x) dx
(en particulier : f(x) 0 implique
b
a f(x) dx 0).
(5)
b
a
f(x) · g(x) dx
2
b
a
f
2 (x) dx ·
b
a
g
2 (x) dx
est dite in´ egalit´ e de Schwarz.
Majoration d’une int´ egrale
(6a)
b
a
f(x) dx
b
a
f(x)
dx si a < b.
(6b)
b
a
f(x) dx
b
a
f(x)
dx
pour tout a et b.
(7) Soient m le minimum de f sur [ a , b ] et M le maximum de f sur
[ a , b ]; alors