Int´ egrale d´ efinie
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D ´ efinition. Si pour toute suite de subdivisions, dont le pas
δ n tend vers 0 (pour n → ∞), les deux limites ci-dessous existent
et tendent vers une mˆ eme valeur S, alors
b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n
k=1
M k · ∆x k = lim
n→∞
n
k=1
m k · ∆x k (= S)
est appel´ ee l’int´ egrale d´ efinie de f sur [ a , b ].
f est alors dite int´ egrable (au sens de Riemann) sur [a , b ].
D ´ efinition (´ equivalente). Si pour toute suite de subdivisions,
dont le pas δ n tend vers 0 (pour n → ∞), et pour tout choix de
points ξ k dans le k i` eme sous-intervalle, la limite ci-dessous existe
et tend vers une mˆ eme valeur S, alors
b
a
f(x) dx = lim
n→∞
n
k=1
f(ξ k ) ∆x k
(= S)
est appel´ ee l’int´ egrale d´ efinie de f sur [ a , b ].
f est alors dite int´ egrable (au sens de Riemann) sur [a , b ].
Th ´ eor ` eme. Toute fonction continue sur un intervalle ferm´ e
est int´ egrable (au sens de Riemann) sur cet intervalle.
Remarque. Il existe des fonctions autres que les fonctions continues
qui sont int´ egrables. Exemple :
Si f est born´ ee sur [ a , b ] et continue sauf dans un ensemble d´ enombrable de points, alors f est int´ egrable.