60
Int´ egrales de fonctions d’une variable
Proposition
S n − s n =
n
k=1
(M k − m k ) · ∆x k
δ n ·
n
k=1
(M k − m k )
= δ n
f(b) − f(a)
(pour f croissante)
Remarques
Si la fonction f est d´ ecroissante, la proposition est analogue.
Si la fonction f n’est ni croissante ni d´ ecroissante, on subdivise
l’intervalle en sous-intervalles sur lesquels f est monotone.
4.1.2
Int´ egrale de Riemann
Notation
Nous consid´ erons une fonction f, d´ efinie sur [ a , b ] et une suite de
subdivisions de [ a , b ] en n = 1, 2, 3, . . . sous-intervalles.
Nous appelons pas δ n de la subdivision num´ ero n la longueur maximale des sous-intervalles de la n i` eme subdivision.
Pour une subdivision donn´ ee, nous appelons :
• m k le minimum de f sur le k i` eme sous-intervalle,
• M k le maximum de f sur le k i` eme sous-intervalle,
• ∆x k la longueur du k i` eme sous-intervalle, plus pr´ ecis´ ement :
∆x k = x k − x k−1 .
Int´ egrales de fonctions d’une variable
Proposition
S n − s n =
n
k=1
(M k − m k ) · ∆x k
δ n ·
n
k=1
(M k − m k )
= δ n
f(b) − f(a)
(pour f croissante)
Remarques
Si la fonction f est d´ ecroissante, la proposition est analogue.
Si la fonction f n’est ni croissante ni d´ ecroissante, on subdivise
l’intervalle en sous-intervalles sur lesquels f est monotone.
4.1.2
Int´ egrale de Riemann
Notation
Nous consid´ erons une fonction f, d´ efinie sur [ a , b ] et une suite de
subdivisions de [ a , b ] en n = 1, 2, 3, . . . sous-intervalles.
Nous appelons pas δ n de la subdivision num´ ero n la longueur maximale des sous-intervalles de la n i` eme subdivision.
Pour une subdivision donn´ ee, nous appelons :
• m k le minimum de f sur le k i` eme sous-intervalle,
• M k le maximum de f sur le k i` eme sous-intervalle,
• ∆x k la longueur du k i` eme sous-intervalle, plus pr´ ecis´ ement :
∆x k = x k − x k−1 .