Pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire
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3.8 Pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire
3.8.1
Que vaut l’approximation lin´ eaire ?
Th ´ eor ` eme. Si f existe dans un intervalle comprenant a et
x, alors il existe ξ entre a et x tel que :
f(x) = f(a) + f
(a) · (x − a)
f 1 (x)
+
f (ξ)
2
(x − a)
2
R
Le terme R =
f (ξ)
2
(x − a)
2 sera appel´ e le reste.
Majorer le reste
Si l’on veut estimer la pr´ ecision de l’approximation lin´ eaire f 1 d’une
fonction f, on essayera de majorer le reste R. La difficult´ e principale
dans l’application de la formule ci-dessus r´ eside dans le fait qu’elle
postule l’existence d’une valeur ξ sans donner de m´ ethode pour trouver
cette valeur.
En g´ en´ eral, il suffit de remplacer ξ par une valeur (entre a et x)
pour laquelle |f | est maximale.
3.8.2
Pr´ ecision en un point
Probl` eme.
Estimer la pr´ ecision de l’accroissement lin´ eaire f pour
une valeur x donn´ ee.
M´ ethode de calcul. Remplacer dans la formule du reste R la valeur
ξ par celle parmi les valeurs ∗ (entre a et x) pour laquelle
f (∗)
est
maximale. On a alors
|R|
f (∗)
2
|x − a|
2