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Calcul diff´ erentiel de fonctions d’une variable
3.5 Courbes param´ etr´ ees
3.5.1
Courbes param´ etr´ ees, vecteur tangent,
vecteur normal
Deux repr´ esentations d’une courbe param´ etr´ ee (plane)
Les courbes param´ etr´ ees ´
etudi´ ees seront repr´ esent´ ees soit sous la
forme :
x = x(t)
y = y(t)
soit (en rassemblant les deux coordonn´ ees en un vecteur) sous la forme :
x(t) =
x(t), y(t)
Courbes param´ etr´ ees r´ eguli` eres
Sans mention explicite du contraire, le terme courbes param´ etr´ ees
signifiera, dans la suite, des courbes qui sont (sauf ´
eventuellement dans
un nombre fini de points appel´ es «singularit´ es») des courbes param´ etr´ ees r´ eguli` eres de classe C 2 .
D ´ efinition. Une courbe param´ etr´ ee
x(t), y(t)
est appel´ ee
r´ eguli` ere de classe C 2 si :
(1) x(t), y(t) sont continˆ ument d´ erivables 2 fois (de classe C 2 ),
(2) x (t) = 0 pour tout t, c’est-` a-dire les fonctions x (t) et y (t)
ne s’annulent pas simultan´ ement.
Vecteur tangent d’une courbe param´ etr´ ee
x = lim
∆t→0
∆x
∆t
= (x
, y
) est appel´ e vecteur tangent.
x = 0 pour les courbes r´ eguli` eres.