D´ eriv´ ees
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y
x
a
ξ
b
y = f (x)
Proposition. Soit f continue sur [ a , b ] et diff´ erentiable sur
] a , b [, alors il existe ξ (a < ξ < b) tel que
f
(ξ) =
f(b) − f(a)
b − a
Le th´ eor` eme des accroissements finis sert souvent `
a estimer l’accroissement d’une fonction dans un intervalle. A cette fin, on peut le
formuler de la mani` ere suivante :
Proposition (variante). Soit f une fonction continue sur
[ a , b ] et diff´ erentiable sur ] a , b [ . Il existe alors une valeur ξ
(a < ξ < b) telle que l’accroissement ∆f = f(b) − f(a) peut ˆ
etre
exprim´ e comme suit
∆f = f
(ξ) · (b − a)
3.1.4
Th´ eor` eme de Rolle
(cas particulier du th´ eor` eme des accroissements finis)
Formulation intuitive
Entre deux z´ eros d’une fonction d´ erivable, il y a (au moins) un z´ ero
de la d´ eriv´ ee (donc un point o` u la tangente est horizontale).